Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - x - 12}{x + 4} \div \frac{x^{2} - 8 x + 16}{2 x^{2} - 32}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - x - 12}{x + 4} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 8 x + 16}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x + 4} \cdot \frac{2 x^{2} - 32}{x^{2} - 8 x + 16}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 32$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x + 4} \cdot \frac{2 (x^{2}) - 32}{x^{2} - 8 x + 16}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x + 4} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 16}{x^{2} - 8 x + 16}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 16$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x + 4} \cdot \frac{2 (x^{2} - 16)}{x^{2} - 8 x + 16}$

Schritt 3.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x + 4} \cdot \frac{2 (x^{2} - 4^{2})}{x^{2} - 8 x + 16}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x + 4} \cdot \frac{2 (x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 16}$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x + 4} \cdot \frac{2 (x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 4^{2}}$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x + 4} \cdot \frac{2 (x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x + 4} \cdot \frac{2 (x + 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x - 4$ aus ${(x - 4)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x + 4} \cdot \frac{2 (x + 4) (x - 4)}{(x - 4) (x - 4)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x + 4} \cdot \frac{2 (x + 4) (x - 4)}{(x - 4) (x - 4)}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{x + 4} \cdot \frac{2 (x + 4) (x - 4)}{x - 4}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $2 (x + 4) (x - 4)$ heraus.

$\frac{x + 3}{x + 4} \cdot \frac{(x + 4) (2 (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 3}{x + 4} \cdot \frac{(x + 4) (2 (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$(x + 3) \frac{2 (x - 4)}{x - 4}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x + 3) \frac{2 (x - 4)}{x - 4}$

Schritt 7.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$(x + 3) \cdot 2$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 2 + 3 \cdot 2$

Schritt 9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \cdot x + 3 \cdot 2$

Schritt 10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x + 6$