Algebra Beispiele

$2 \ln (e^{\ln (2 x)}) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\ln (2 x)$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$2 (\ln (2 x) \ln (e)) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Schritt 1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 (\ln (2 x) \cdot 1) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\ln (2 x)$ mit $1$ .

$2 \ln (2 x) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Schritt 1.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\ln (10 x)$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$2 \ln (2 x) - (\ln (10 x) \ln (e)) = \ln (30)$

Schritt 1.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 \ln (2 x) - (\ln (10 x) \cdot 1) = \ln (30)$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\ln (10 x)$ mit $1$ .

$2 \ln (2 x) - \ln (10 x) = \ln (30)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (2 x) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 \ln (2 x) - \ln (10 x) - \ln (30)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (2 x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(2 x)}^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Schritt 3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\ln (2^{2} x^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\ln (4 x^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Schritt 3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4 x^{2}}{10 x}) - \ln (30) = 0$

Schritt 3.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{4 x^{2}}{10 x}}{30}) = 0$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{10 x}}{30}) = 0$

Schritt 3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (5 x)}}{30}) = 0$

Schritt 3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (5 x)}}{30}) = 0$

Schritt 3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{\frac{2 x^{2}}{5 x}}{30}) = 0$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{5 x}}{30}) = 0$

Schritt 3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{x \cdot 5}}{30}) = 0$

Schritt 3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{x \cdot 5}}{30}) = 0$

Schritt 3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{\frac{2 x}{5}}{30}) = 0$

Schritt 3.1.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{2 x}{5} \cdot \frac{1}{30}) = 0$

Schritt 3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\ln (\frac{2 (x)}{5} \cdot \frac{1}{30}) = 0$

Schritt 3.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$\ln (\frac{2 (x)}{5} \cdot \frac{1}{2 (15)}) = 0$

Schritt 3.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{2 x}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 15}) = 0$

Schritt 3.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{15}) = 0$

Schritt 3.1.8

Mutltipliziere $\frac{x}{5}$ mit $\frac{1}{15}$ .

$\ln (\frac{x}{5 \cdot 15}) = 0$

Schritt 3.1.9

Mutltipliziere $5$ mit $15$ .

$\ln (\frac{x}{75}) = 0$

Schritt 4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{x}{75})} = e^{0}$

Schritt 5

Schreibe $\ln (\frac{x}{75}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x}{75}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{75} = e^{0}$ um.

$\frac{x}{75} = e^{0}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $75$ .

$75 \frac{x}{75} = 75 e^{0}$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $75$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$75 \frac{x}{75} = 75 e^{0}$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 75 e^{0}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $75 e^{0}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x = 75 \cdot 1$

Schritt 6.3.2.1.2

Mutltipliziere $75$ mit $1$ .

$x = 75$