Algebra Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{4 x - 12}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{4 x - 12}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{x^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 x - 12} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{x^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 x - 12}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x}{x^{2} - 3^{2}} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 x - 12} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 x - 12} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 12$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 (x) - 12} = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 x + 4 \cdot - 3} = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 (x - 3)} = 0$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 (x - 3)} = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 (x - 3)} = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 3}$ mit $\frac{(x + 3) \cdot 4}{(x + 3) \cdot 4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - (\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 4}{(x + 3) \cdot 4}) - \frac{1}{4 (x - 3)} = 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 3}$ mit $\frac{(x + 3) \cdot 4}{(x + 3) \cdot 4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{(x + 3) \cdot 4}{(x - 3) ((x + 3) \cdot 4)} - \frac{1}{4 (x - 3)} = 0$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4 (x - 3)}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{(x + 3) \cdot 4}{(x - 3) ((x + 3) \cdot 4)} - (\frac{1}{4 (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}) = 0$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4 (x - 3)}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{(x + 3) \cdot 4}{(x - 3) ((x + 3) \cdot 4)} - \frac{x + 3}{4 (x - 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.2.7

Stelle die Faktoren von $(x - 3) ((x + 3) \cdot 4)$ um.

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{(x + 3) \cdot 4}{4 (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 3}{4 (x - 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.2.8

Stelle die Faktoren von $4 (x - 3) (x + 3)$ um.

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{(x + 3) \cdot 4}{4 (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 3}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot 4 - (x + 3) \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 \cdot x - (x + 3) \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + (- x - 1 \cdot 3) \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4 x + (- x - 3) \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x - x \cdot 4 - 3 \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x - 4 x - 3 \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{4 x - 4 x - 12 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x - 4 x - 12 - x - 1 \cdot 3}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4 x - 4 x - 12 - x - 3}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{0 - 12 - x - 3}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$\frac{- 12 - x - 3}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.7

Subtrahiere $3$ von $- 12$ .

$\frac{- x - 15}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 15}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (15)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (15)$ heraus.

$\frac{- (x + 15)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.11

Schreibe $- (x + 15)$ als $- 1 (x + 15)$ um.

$\frac{- 1 (x + 15)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 15}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 15 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 15$