Algebra Beispiele

$x^{- 3} = \frac{1}{64}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{64}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{- 3} - \frac{1}{64} = 0$

Schritt 2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{64} = 0$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{1^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{64} = 0$

Schritt 4

Schreibe $\frac{1^{3}}{x^{3}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{3}$ um.

${(\frac{1}{x})}^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{64}$ als ${(\frac{1}{4})}^{3}$ um.

${(\frac{1}{x})}^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = \frac{1}{x}$ und $b = \frac{1}{4}$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) ({(\frac{1}{x})}^{2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x \cdot 4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 7.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 \cdot x} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $4$ mit $x$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 7.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Schritt 7.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Schritt 7.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 7.9

Stelle die Terme um.

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 8

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$(\frac{1}{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 9

Um $- \frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x \cdot 4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$(\frac{4}{x \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{4}{x \cdot 4} - \frac{x}{4 x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 10.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 4$ um.

$(\frac{4}{4 x} - \frac{x}{4 x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 12

Um $\frac{1}{4 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{1}{4 x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 13

Um $\frac{1}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{1}{4 x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4 x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4 x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 14.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 (x \cdot x)} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 14.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 (x \cdot x)} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 14.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{1 + 1}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 14.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 14.6

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{2}} + \frac{4}{x^{2} \cdot 4} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 14.7

Stelle die Faktoren von $x^{2} \cdot 4$ um.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{2}} + \frac{4}{4 x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x + 4}{4 x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 16

Um $\frac{x + 4}{4 x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x + 4}{4 x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 17

Um $\frac{1}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x + 4}{4 x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Schritt 18

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16 x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 18.1

Mutltipliziere $\frac{x + 4}{4 x^{2}}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{(x + 4) \cdot 4}{4 x^{2} \cdot 4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Schritt 18.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{(x + 4) \cdot 4}{16 x^{2}} + \frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Schritt 18.3

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{(x + 4) \cdot 4}{16 x^{2}} + \frac{x^{2}}{16 x^{2}}) = 0$

Schritt 19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{(x + 4) \cdot 4 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Schritt 20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{x \cdot 4 + 4 \cdot 4 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Schritt 20.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{4 \cdot x + 4 \cdot 4 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Schritt 20.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{4 x + 16 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Schritt 20.4

Stelle die Terme um.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$

Schritt 21

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\frac{4 - x}{4 x} = 0$

$\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$

Schritt 22

Setze $\frac{4 - x}{4 x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 22.1

Setze $\frac{4 - x}{4 x}$ gleich $0$ .

$\frac{4 - x}{4 x} = 0$

Schritt 22.2

Löse $\frac{4 - x}{4 x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 22.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$4 - x = 0$

Schritt 22.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 22.2.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 22.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 22.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 22.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 22.2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 22.2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 22.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 22.2.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 23

Setze $\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 23.1

Setze $\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}}$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$

Schritt 23.2

Löse $\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 23.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Schritt 23.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 23.2.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 23.2.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 23.2.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.2.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 23.2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 23.2.2.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 23.2.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 23.2.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 23.2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.2.2.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 23.2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.4.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.4.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.4.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 23.2.2.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 23.2.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 23.2.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Schritt 23.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 23.2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.2.2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 23.2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.5.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.5.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.5.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 23.2.2.5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 23.2.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 23.2.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 23.2.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 24

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$