Algebra Beispiele

$\frac{x + 2}{x^{2} - 9} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} = \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x + 2}{x^{2} - 9} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x + 2}{x^{2} - 9} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x + 2}{x^{2} - 3^{2}} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 3}{(x - 3) (x + 1)} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 3}{(x - 3) (x + 1)} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Schritt 2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x^{2} + 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 2.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) ((x + 3) (x - 3))} - (\frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}) = 0$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{(2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.2.7

Stelle die Faktoren von $(x + 1) ((x + 3) (x - 3))$ um.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} - \frac{(2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 2) (x + 1) + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere $(x + 2) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 1) + 2 (x + 1) + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 (x + 1) + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 \cdot 1 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x (x - 3) + 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.4.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.4.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.4.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 + (- (2 x) - - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 + (- 2 x - - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 + (- 2 x + 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.9

Multipliziere $(- 2 x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x (x - 3) + 3 (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.10.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.10.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.10.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.10.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} + 6 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.10.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} + 6 x + 3 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.10.2

Addiere $6 x$ und $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.5

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 2 - 9 - 2 x^{2} + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} + 3 x + 2 - 9 - 2 x^{2} + 9 x - 9$ .

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Schritt 2.6.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2 - 9 + 0 + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $3 x + 2 - 9$ und $0$ .

$\frac{3 x + 2 - 9 + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.7

Addiere $3 x$ und $9 x$ .

$\frac{12 x + 2 - 9 - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.8

Subtrahiere $9$ von $2$ .

$\frac{12 x - 7 - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9

Subtrahiere $9$ von $- 7$ .

$\frac{12 x - 16}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $4$ aus $12 x - 16$ heraus.

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{4 (3 x) - 16}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.10.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{4 (3 x) + 4 (- 4)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.10.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x) + 4 (- 4)$ heraus.

$\frac{4 (3 x - 4)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (3 x - 4) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (3 x - 4) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (3 x - 4) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (3 x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (3 x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.1.2.1.2

Dividiere $3 x - 4$ durch $1$ .

$3 x - 4 = \frac{0}{4}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$