Algebra Beispiele

$\frac{36}{x^{2} - 9} - 3 = \frac{2 x}{x - 3}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2 x}{x - 3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{36}{x^{2} - 9} - 3 - \frac{2 x}{x - 3} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{36}{x^{2} - 9} - 3 - \frac{2 x}{x - 3}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{36}{x^{2} - 3^{2}} - 3 - \frac{2 x}{x - 3} = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} - 3 - \frac{2 x}{x - 3} = 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{2 x}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - 3 = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 3) (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{x - 3}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (x + 3)$ um.

$\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{36 - 2 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $36 - 2 x (x + 3)$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\frac{2 (18) - 2 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x (x + 3)$ heraus.

$\frac{2 (18) + 2 (- x (x + 3))}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (18) + 2 (- x (x + 3))$ heraus.

$\frac{2 (18 - x (x + 3))}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (18 - x \cdot x - x \cdot 3)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (18 - (x \cdot x) - x \cdot 3)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (18 - x^{2} - x \cdot 3)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (18 - x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 x + 18)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.5.1.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 18 = - 18$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 2.5.1.6.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 (x) + 18)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.6.1.2

Schreibe $- 3$ um als $3$ plus $- 6$

$\frac{2 (- x^{2} + (3 - 6) x + 18)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2} + 3 x - 6 x + 18)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.5.1.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((- x^{2} + 3 x) - 6 x + 18)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (x (- x + 3) + 6 (- x + 3))}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 3$ .

$\frac{2 ((- x + 3) (x + 6))}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

$\frac{2 (- x + 3) (x + 6)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 3$ und $x - 3$ .

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) + 3) (x + 6)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 3)) (x + 6)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{2 (- (x - 3)) (x + 6)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2.4

Schreibe $- (x - 3)$ als $- 1 (x - 3)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x - 3)) (x + 6)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (x - 3)) (x + 6)}{(x + 3) (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1) (x + 6)}{x + 3} - 3 = 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 (x + 6)}{x + 3} - 3 = 0$

Schritt 2.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (x + 6)}{x + 3} - 3 = 0$

Schritt 2.6

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- \frac{2 (x + 6)}{x + 3} - 3 \cdot \frac{x + 3}{x + 3} = 0$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- \frac{2 (x + 6)}{x + 3} + \frac{- 3 (x + 3)}{x + 3} = 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 (x + 6) - 3 (x + 3)}{x + 3} = 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 (x + 6) - 3 (x + 3)$ heraus.

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Schritt 2.9.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 (x + 6)$ heraus.

$\frac{- (2 (x + 6)) - 3 (x + 3)}{x + 3} = 0$

Schritt 2.9.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 (x + 3)$ heraus.

$\frac{- (2 (x + 6)) - (3 (x + 3))}{x + 3} = 0$

Schritt 2.9.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 (x + 6)) - (3 (x + 3))$ heraus.

$\frac{- (2 (x + 6) + 3 (x + 3))}{x + 3} = 0$

Schritt 2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (2 x + 2 \cdot 6 + 3 (x + 3))}{x + 3} = 0$

Schritt 2.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{- (2 x + 12 + 3 (x + 3))}{x + 3} = 0$

Schritt 2.9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (2 x + 12 + 3 x + 3 \cdot 3)}{x + 3} = 0$

Schritt 2.9.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- (2 x + 12 + 3 x + 9)}{x + 3} = 0$

Schritt 2.9.6

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$\frac{- (5 x + 12 + 9)}{x + 3} = 0$

Schritt 2.9.7

Addiere $12$ und $9$ .

$\frac{- (5 x + 21)}{x + 3} = 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 x + 21}{x + 3} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$5 x + 21 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 21$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 21$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 21$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 21}{5}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 21}{5}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 21}{5}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{21}{5}$