Algebra Beispiele

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} = \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 7^{2}} = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 7$ .

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{14}{y - 7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.3

Um $- \frac{2}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y - 7) y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{14}{y - 7}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{y}$ mit $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(y - 7) y$ um.

$\frac{14 y}{y (y - 7)} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 y - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $14 y - 2 (y - 7)$ heraus.

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Schritt 2.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $14 y$ heraus.

$\frac{2 (7 y) - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (y - 7)$ heraus.

$\frac{2 (7 y) + 2 (- (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (7 y) + 2 (- (y - 7))$ heraus.

$\frac{2 (7 y - (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (7 y - y - - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$\frac{2 (7 y - y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.6.4

Subtrahiere $y$ von $7 y$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.7

Um $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.8

Um $- \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Schritt 2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (y - 7) (y + 7)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ mit $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $\frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Schritt 2.9.3

Stelle die Faktoren von $y (y - 7) (y + 7)$ um.

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Schritt 2.9.4

Stelle die Faktoren von $(y + 7) (y - 7) y$ um.

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 (6 y) + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{(12 y + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{(12 y + 14) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.4

Multipliziere $(12 y + 14) (y + 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.11.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 y (y + 7) + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.11.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.5.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.5.1.1.1

Bewege $y$ .

$\frac{12 (y \cdot y) + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.5.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.5.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $12$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.5.1.3

Mutltipliziere $14$ mit $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.5.2

Addiere $84 y$ und $14 y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- (19 y) - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.7

Mutltipliziere $19$ mit $- 1$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y \cdot y - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.10

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.10.1

Bewege $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 (y \cdot y) - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.10.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y^{2} - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.11

Subtrahiere $19 y^{2}$ von $12 y^{2}$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 98 y + 98 - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.12

Subtrahiere $7 y$ von $98 y$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13

Schreibe $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.11.13.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ heraus.

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Schritt 2.11.13.1.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7 y^{2}$ heraus.

$\frac{7 (- y^{2}) + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.1.2

Faktorisiere $7$ aus $91 y$ heraus.

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.1.3

Faktorisiere $7$ aus $98$ heraus.

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.1.4

Faktorisiere $7$ aus $7 (- y^{2}) + 7 (13 y)$ heraus.

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.1.5

Faktorisiere $7$ aus $7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)$ heraus.

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.11.13.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 14 = - 14$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 2.11.13.2.1.1

Faktorisiere $13$ aus $13 y$ heraus.

$\frac{7 (- y^{2} + 13 (y) + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.2.1.2

Schreibe $13$ um als $- 1$ plus $14$

$\frac{7 (- y^{2} + (- 1 + 14) y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (- y^{2} - 1 y + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.11.13.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{7 ((- y^{2} - 1 y) + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{7 (y (- y - 1) - 14 (- y - 1))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- y - 1$ .

$\frac{7 ((- y - 1) (y - 14))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

$\frac{7 (- y - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{7 (- (y) - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.13

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{7 (- (y) - 1 (1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{7 (- (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.15

Schreibe $- (y + 1)$ als $- 1 (y + 1)$ um.

$\frac{7 (- 1 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.17

Stelle die Faktoren in $- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)}$ um.

$- \frac{7 (y + 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$7 (y + 1) (y - 14) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

$y - 14 = 0$

Schritt 4.2

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 4.3

Setze $y - 14$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $y - 14$ gleich $0$ .

$y - 14 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 14$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $7 (y + 1) (y - 14) = 0$ wahr machen.

$y = - 1, 14$