Algebra Beispiele

$\frac{1}{x + 3} - \frac{2}{3 - x} = \frac{4}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{4}{x^{2} - 9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x + 3} - \frac{2}{3 - x} - \frac{4}{x^{2} - 9} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{x + 3} - \frac{2}{3 - x} - \frac{4}{x^{2} - 9}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{x + 3} - \frac{2}{3 - x} - \frac{4}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{1}{x + 3} - \frac{2}{3 - x} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot \frac{3 - x}{3 - x} - \frac{2}{3 - x} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.3

Um $- \frac{2}{3 - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot \frac{3 - x}{3 - x} - \frac{2}{3 - x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 3) (3 - x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 3}$ mit $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$\frac{3 - x}{(x + 3) (3 - x)} - \frac{2}{3 - x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3 - x}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3 - x}{(x + 3) (3 - x)} - \frac{2 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 3) (3 - x)$ um.

$\frac{3 - x}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{2 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - x - 2 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 - x - 2 x - 2 \cdot 3}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{3 - x - 2 x - 6}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6.3

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$\frac{- x - 2 x - 3}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6.4

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$\frac{- 3 x - 3}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6.5

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x - 3$ heraus.

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Schritt 2.6.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{3 (- x) - 3}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- x) + 3 (- 1)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (- x - 1)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{3 (- x - 1)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x) - 3)} = 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{3 (- x - 1)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x) - 1 (3))} = 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{3 (- x - 1)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} = 0$

Schritt 2.10

Stelle die Terme um.

$\frac{3 (- x - 1)}{(- x + 3) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} = 0$

Schritt 2.11

Um $\frac{3 (- x - 1)}{(- x + 3) (x + 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{3 (- x - 1)}{(- x + 3) (x + 3)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} = 0$

Schritt 2.12

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(- x + 3) (x + 3) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $\frac{3 (- x - 1)}{(- x + 3) (x + 3)}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{3 (- x - 1) \cdot - 1}{(- x + 3) (x + 3) \cdot - 1} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} = 0$

Schritt 2.12.2

Stelle die Faktoren von $(- x + 3) (x + 3) \cdot - 1$ um.

$\frac{3 (- x - 1) \cdot - 1}{- (- x + 3) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} = 0$

Schritt 2.12.3

Stelle die Faktoren von $(x + 3) (- 1 (- x + 3))$ um.

$\frac{3 (- x - 1) \cdot - 1}{- (- x + 3) (x + 3)} - \frac{4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (- x - 1) \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 (- x) + 3 \cdot - 1) \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.14.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{(- 3 x + 3 \cdot - 1) \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.14.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(- 3 x - 3) \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.14.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.14.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{3 x - 3 \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.14.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.14.7

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{3 x - 1}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x - 1}{(- x + 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.16

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- \frac{3 x - 1}{(- (x) + 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.17

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- \frac{3 x - 1}{(- (x) - 1 (- 3)) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.18

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 3)$ heraus.

$- \frac{3 x - 1}{- (x - 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.19

Schreibe $- (x - 3)$ als $- 1 (x - 3)$ um.

$- \frac{3 x - 1}{- 1 (x - 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.22

Mutltipliziere $\frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 3)}$ mit $1$ .

$\frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 3)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x - 1 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$