Algebra Beispiele

$4 k^{\frac{4}{3}} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Schritt 1

Schreibe $k^{\frac{4}{3}}$ als ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ um.

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = k^{\frac{2}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $k^{\frac{2}{3}}$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ und deren Summe gleich $b = - 65$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 65$ aus $- 65 u$ heraus.

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 65$ um als $- 1$ plus $- 64$

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $k^{\frac{2}{3}}$ .

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Schritt 5

Schreibe $4 k^{\frac{2}{3}}$ als ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$({(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$({(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 k^{\frac{1}{3}}$ und $b = 1$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Schritt 8

Schreibe $k^{\frac{2}{3}}$ als ${(k^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ({(k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 16) = 0$

Schritt 9

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ({(k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = k^{\frac{1}{3}}$ und $b = 4$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ((k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4)) = 0$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

$k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Schritt 12

Setze $2 k^{\frac{1}{3}} + 1$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $2 k^{\frac{1}{3}} + 1$ gleich $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Schritt 12.2

Löse $2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 12.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 k^{\frac{1}{3}} = - 1$

Schritt 12.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 12.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.3.1.1

Vereinfache ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 12.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 k^{\frac{1}{3}}$ an.

$2^{3} {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 12.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 k^{1} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$8 k = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$8 k = - 1$

Schritt 12.2.4

Teile jeden Ausdruck in $8 k = - 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 k = - 1$ durch $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 12.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 12.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 12.2.4.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{- 1}{8}$

Schritt 12.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$k = - \frac{1}{8}$

Schritt 13

Setze $2 k^{\frac{1}{3}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $2 k^{\frac{1}{3}} - 1$ gleich $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Schritt 13.2

Löse $2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 13.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 k^{\frac{1}{3}} = 1$

Schritt 13.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 13.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.3.1.1

Vereinfache ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 13.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 k^{\frac{1}{3}}$ an.

$2^{3} {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 13.2.3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 13.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 13.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 13.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 13.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 k^{1} = 1^{3}$

Schritt 13.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$8 k = 1^{3}$

Schritt 13.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 k = 1$

Schritt 13.2.4

Teile jeden Ausdruck in $8 k = 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 k = 1$ durch $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 13.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 13.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 13.2.4.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{1}{8}$

Schritt 14

Setze $k^{\frac{1}{3}} + 4$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $k^{\frac{1}{3}} + 4$ gleich $0$ .

$k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

Schritt 14.2

Löse $k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 14.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$k^{\frac{1}{3}} = - 4$

Schritt 14.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 14.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 14.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.3.1.1

Vereinfache ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 14.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 14.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 14.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 14.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$k^{1} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 14.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$k = {(- 4)}^{3}$

Schritt 14.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.3.2.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$k = - 64$

Schritt 15

Setze $k^{\frac{1}{3}} - 4$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $k^{\frac{1}{3}} - 4$ gleich $0$ .

$k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Schritt 15.2

Löse $k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 15.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k^{\frac{1}{3}} = 4$

Schritt 15.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 4^{3}$

Schritt 15.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 15.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 15.2.3.1.1

Vereinfache ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 15.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 15.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Schritt 15.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Schritt 15.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$k^{1} = 4^{3}$

Schritt 15.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$k = 4^{3}$

Schritt 15.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.2.3.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$k = 64$

Schritt 16

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$ wahr machen.

$k = - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, - 64, 64$