Algebra Beispiele

$x = 3 + \sqrt{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 3 = \sqrt{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\sqrt{x^{2} - 9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 3 - \sqrt{x^{2} - 9} = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x - 3 - \sqrt{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x - 3 - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} = - x$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} = - x + 3$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ als ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(- {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(- {(x (x - 3) + 3 (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(- {(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(- {(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

${(- {(x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

${(- {(x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

${(- {(x \cdot x + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(- {(x^{2} + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.2.3.1

Wende die Produktregel auf $- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3.3

Mutltipliziere ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.2.3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.2.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 9)}^{1} = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache.

$x^{2} - 9 = {(- x + 3)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(- x + 3)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(- x + 3)}^{2}$ als $(- x + 3) (- x + 3)$ um.

$x^{2} - 9 = (- x + 3) (- x + 3)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(- x + 3) (- x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 9 = - x (- x + 3) + 3 (- x + 3)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 9 = - x (- x) - x \cdot 3 + 3 (- x + 3)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 9 = - x (- x) - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - 9 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$x^{2} - 9 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Schritt 5.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 9 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 9 = 1 x^{2} - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 3 x + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Schritt 5.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 3 x - 3 x + 3 \cdot 3$

Schritt 5.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Schritt 5.3.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 6 x + 9 = x^{2} - 9$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} = - 9$

Schritt 6.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 6 x + 9 - x^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 6 x + 9 + 0 = - 9$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 6 x + 9$ und $0$ .

$- 6 x + 9 = - 9$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x = - 9 - 9$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $9$ von $- 9$ .

$- 6 x = - 18$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x = - 18$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x = - 18$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 6}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.1

Dividiere $- 18$ durch $- 6$ .

$x = 3$