Algebra Beispiele

$\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}}{\frac{3 x}{x^{2} - 1}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{3 x}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x^{2} + 2 x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{3 x}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x^{2} + 2 x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x \cdot 3}$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x}{x^{2} + 2 x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x \cdot 3}$

Schritt 2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{3}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ mit $\frac{x^{2} - 1}{3}$ .

$\frac{x (x^{2} - 1)}{(x^{2} + 2 x + 1) \cdot 3}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{(x^{2} + 2 x + 1) \cdot 3}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 2 x + 1) \cdot 3}$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 3}$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3}$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} \cdot 3}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 1$ und ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 3}$

Schritt 5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} \cdot 3$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3)}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3)}$

Schritt 5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (x - 1)}{(x + 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\frac{x (x - 1)}{3 (x + 1)}$