Algebra Beispiele

$\sqrt{4 - x} \geq \sqrt{3 x + 4}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{4 - x}}^{2} \geq {\sqrt{3 x + 4}}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x}$ als ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {\sqrt{3 x + 4}}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {\sqrt{3 x + 4}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {\sqrt{3 x + 4}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 - x)}^{1} \geq {\sqrt{3 x + 4}}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$4 - x \geq {\sqrt{3 x + 4}}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe ${\sqrt{3 x + 4}}^{2}$ als $3 x + 4$ um.

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Schritt 2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x + 4}$ als ${(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 - x \geq {({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - x \geq {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 - x \geq {(3 x + 4)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 - x \geq {(3 x + 4)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 - x \geq {(3 x + 4)}^{1}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache.

$4 - x \geq 3 x + 4$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 - x - 3 x \geq 4$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $3 x$ von $- x$ .

$4 - 4 x \geq 4$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x \geq 4 - 4$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$- 4 x \geq 0$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x \geq 0$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Term in $- 4 x \geq 0$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{0}{- 4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{0}{- 4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 4}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$x \leq 0$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{4 - x} - \sqrt{3 x + 4}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x \geq 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 4$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 4$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x \leq 4$

Schritt 4.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 x + 4}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x + 4 \geq 0$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x \geq - 4$

Schritt 4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 4}{3}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 4}{3}$

Schritt 4.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 4}{3}$

Schritt 4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{4}{3}$

Schritt 4.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \frac{4}{3}, 4]$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 - (- 4)} \geq \sqrt{3 (- 4) + 4}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{4}{3} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{4}{3} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 - (- 1)} \geq \sqrt{3 (- 1) + 4}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $2.23606797$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 - (2)} \geq \sqrt{3 (2) + 4}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $1.41421356$ ist kleiner als die rechte Seite $3.16227766$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 6.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 - (6)} \geq \sqrt{3 (6) + 4}$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{4}{3}$ Falsch

$- \frac{4}{3} < x < 0$ Wahr

$0 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Falsch

$x < - \frac{4}{3}$ Falsch

$- \frac{4}{3} < x < 0$ Wahr

$0 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{4}{3} \leq x \leq 0$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{4}{3} \leq x \leq 0$

Intervallschreibweise:

$[- \frac{4}{3}, 0]$

Schritt 9