Algebra Beispiele

$\frac{2}{x - y} + \frac{3}{x + y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{y^{2} - x^{2}}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = x$ .

$\frac{2}{x - y} + \frac{3}{x + y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 2

Um $\frac{2}{x - y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{2}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{3}{x + y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 3

Um $\frac{3}{x + y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{2}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{3}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - y) (x + y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x - y}$ mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{2 (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{3}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x + y}$ mit $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{2 (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - y) (x + y)$ um.

$\frac{2 (x + y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x + y) + 3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 y + 3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 y + 3 x + 3 (- y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 x + 2 y + 3 x - 3 y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 6.4

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$\frac{5 x + 2 y - 3 y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $3 y$ von $2 y$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (- y) - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (- y) - (x)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- y) - (x)$ heraus.

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (- y + x)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 8

Um $\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{5}{- 1 (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 9

Um $- \frac{5}{- 1 (x - y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{5}{- 1 (x - y)} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{(x + y) (x - y) \cdot - 1} - \frac{5}{- 1 (x - y)} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{5}{- 1 (x - y)}$ mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{(x + y) (x - y) \cdot - 1} - \frac{5 (x + y)}{- 1 (x - y) (x + y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 10.3

Stelle die Faktoren von $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ um.

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{5 (x + y)}{- 1 (x - y) (x + y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 10.4

Stelle die Faktoren von $- 1 (x - y) (x + y)$ um.

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1 - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x \cdot - 1 - y \cdot - 1 - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{- 5 x - y \cdot - 1 - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 12.1.3

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 12.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 5 x + 1 y - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 12.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{- 5 x + y - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 12.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 x + y - 5 x - 5 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 12.1.5

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$\frac{- 10 x + y - 5 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 12.1.6

Subtrahiere $5 y$ von $y$ .

$\frac{- 10 x - 4 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 12.1.7

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x - 4 y$ heraus.

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Schritt 12.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{2 (- 5 x) - 4 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 12.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{2 (- 5 x) + 2 (- 2 y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 12.1.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 5 x) + 2 (- 2 y)$ heraus.

$\frac{2 (- 5 x - 2 y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 12.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 13

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 13.1

Stelle die Terme um.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (y - x)}$

Schritt 13.2

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (- y) - x)}$

Schritt 13.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (- y) - (x))}$

Schritt 13.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- y) - (x)$ heraus.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (- y + x))}$

Schritt 13.5

Stelle die Terme um.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Schritt 14

Um $- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Schritt 15

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1}{(x + y) (x - y) \cdot - 1} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren von $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ um.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Schritt 15.3

Stelle die Faktoren von $(x + y) (- 1 (x - y))$ um.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{- (x + y) (x - y)}$

Schritt 16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1 - (7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Schritt 17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1 - (7 x - 9 y)$ heraus.

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Schritt 17.1.1

Bewege $- 5 x - 2 y$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1 (- 5 x - 2 y) - (7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Schritt 17.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \cdot - 1 (- 5 x - 2 y)$ heraus.

$\frac{- (- 2 (- 5 x - 2 y)) - (7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Schritt 17.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 (- 5 x - 2 y)) - (7 x - 9 y)$ heraus.

$\frac{- (- 2 (- 5 x - 2 y) + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Schritt 17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (- 2 (- 5 x) - 2 (- 2 y) + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Schritt 17.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$\frac{- (10 x - 2 (- 2 y) + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Schritt 17.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{- (10 x + 4 y + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Schritt 17.5

Addiere $10 x$ und $7 x$ .

$\frac{- (17 x + 4 y - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Schritt 17.6

Subtrahiere $9 y$ von $4 y$ .

$\frac{- (17 x - 5 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Schritt 18

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{17 x - 5 y}{(x + y) (x - y)}$