Algebra Beispiele

$y^{2} - x^{2} = 56$ , $2 x - y = 1$

Schritt 1

Löse in $2 x - y = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1 + y$

$y^{2} - x^{2} = 56$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1 + y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1 + y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - x^{2} = 56$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - x^{2} = 56$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - x^{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - x^{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - x^{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - x^{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - x^{2} = 56$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{1}{2} + \frac{y}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $y^{2} - x^{2} = 56$ durch $\frac{1}{2} + \frac{y}{2}$ .

$y^{2} - {(\frac{1}{2} + \frac{y}{2})}^{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $y^{2} - {(\frac{1}{2} + \frac{y}{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(\frac{1}{2} + \frac{y}{2})}^{2}$ als $(\frac{1}{2} + \frac{y}{2}) (\frac{1}{2} + \frac{y}{2})$ um.

$y^{2} - ((\frac{1}{2} + \frac{y}{2}) (\frac{1}{2} + \frac{y}{2})) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(\frac{1}{2} + \frac{y}{2}) (\frac{1}{2} + \frac{y}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{y}{2}) + \frac{y}{2} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{y}{2})) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{y}{2})) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} - (\frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{y}{2}$ .

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Multipliziere $\frac{y}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Multipliziere $\frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{2}$ mit $\frac{y}{2}$ .

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y^{1 + 1}}{2 \cdot 2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y^{2}}{2 \cdot 2}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y^{2}}{4}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y^{2}}{4}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y^{2}}{4}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Addiere $\frac{y}{4}$ und $\frac{y}{4}$ .

$y^{2} - (\frac{1}{4} + 2 (\frac{y}{4}) + \frac{y^{2}}{4}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - (\frac{1}{4} + 2 (\frac{y}{4}) + \frac{y^{2}}{4}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y^{2} - (\frac{1}{4} + 2 (\frac{y}{2 (2)}) + \frac{y^{2}}{4}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} - (\frac{1}{4} + 2 (\frac{y}{2 \cdot 2}) + \frac{y^{2}}{4}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{2} + \frac{y^{2}}{4}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - (\frac{1}{4} + \frac{y}{2} + \frac{y^{2}}{4}) = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - \frac{1}{4} - \frac{y}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y^{2} - \frac{1}{4} - \frac{y}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Um $y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{y^{2}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{y}{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 4}{4} - \frac{y^{2}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{y}{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{2} \cdot 4 - y^{2}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{y}{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{2} \cdot 4 - y^{2} - 1}{4} + \frac{- y}{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{y^{2} \cdot 4 - y^{2} - 1}{4} + \frac{- y}{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} - y^{2} - 1}{4} + \frac{- y}{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.5.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $4 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - 1}{4} + \frac{- y}{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 y^{2} - 1}{4} - \frac{y}{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{3 y^{2} - 1}{4} - \frac{y}{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.6

Um $- \frac{y}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - 1}{4} - \frac{y}{2} \cdot \frac{2}{2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{y}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - 1}{4} - \frac{y \cdot 2}{2 \cdot 2} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 y^{2} - 1}{4} - \frac{y \cdot 2}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{3 y^{2} - 1}{4} - \frac{y \cdot 2}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 y^{2} - 1 - y \cdot 2}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} - 1 - 2 y}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.9.2

Stelle die Terme um.

$\frac{3 y^{2} - 2 y - 1}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.9.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1.9.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 2.2.1.9.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{3 y^{2} - 2 y - 1}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.9.3.1.2

Schreibe $- 2$ um als $1$ plus $- 3$

$\frac{3 y^{2} + (1 - 3) y - 1}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.9.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 y^{2} + 1 y - 3 y - 1}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.9.3.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{3 y^{2} + y - 3 y - 1}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{3 y^{2} + y - 3 y - 1}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1.9.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 y^{2} + y) - 3 y - 1}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.9.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{y (3 y + 1) - (3 y + 1)}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{y (3 y + 1) - (3 y + 1)}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.9.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 y + 1$ .

$\frac{(3 y + 1) (y - 1)}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{(3 y + 1) (y - 1)}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{(3 y + 1) (y - 1)}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{(3 y + 1) (y - 1)}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{(3 y + 1) (y - 1)}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{(3 y + 1) (y - 1)}{4} = 56$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3

Löse in $\frac{(3 y + 1) (y - 1)}{4} = 56$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{(3 y + 1) (y - 1)}{4} \cdot 4 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{(3 y + 1) (y - 1)}{4} \cdot 4$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 y + 1) (y - 1)}{4} \cdot 4 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(3 y + 1) (y - 1) = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$(3 y + 1) (y - 1) = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Multipliziere $(3 y + 1) (y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y (y - 1) + 1 (y - 1) = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y \cdot y + 3 y \cdot - 1 + 1 (y - 1) = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y \cdot y + 3 y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$3 y \cdot y + 3 y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.3.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.1.3.1.1.1

Bewege $y$ .

$3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2.1.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 y^{2} + 3 y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$3 y^{2} + 3 y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 1 y + 1 \cdot - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 y^{2} - 3 y + y + 1 \cdot - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 y^{2} - 3 y + y - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$3 y^{2} - 3 y + y - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Addiere $- 3 y$ und $y$ .

$3 y^{2} - 2 y - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$3 y^{2} - 2 y - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$3 y^{2} - 2 y - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$3 y^{2} - 2 y - 1 = 56 \cdot 4$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $56$ mit $4$ .

$3 y^{2} - 2 y - 1 = 224$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$3 y^{2} - 2 y - 1 = 224$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$3 y^{2} - 2 y - 1 = 224$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $224$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} - 2 y - 1 - 224 = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $224$ von $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y - 225 = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 225 = - 675$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 y$ heraus.

$3 y^{2} - 2 y - 225 = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe $- 2$ um als $25$ plus $- 27$

$3 y^{2} + (25 - 27) y - 225 = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y^{2} + 25 y - 27 y - 225 = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$3 y^{2} + 25 y - 27 y - 225 = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 y^{2} + 25 y) - 27 y - 225 = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y (3 y + 25) - 9 (3 y + 25) = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y (3 y + 25) - 9 (3 y + 25) = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 y + 25$ .

$(3 y + 25) (y - 9) = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$(3 y + 25) (y - 9) = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 y + 25 = 0$

$y - 9 = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.5

Setze $3 y + 25$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.5.1

Setze $3 y + 25$ gleich $0$ .

$3 y + 25 = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.5.2

Löse $3 y + 25 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.5.2.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = - 25$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - 25$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - 25$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 25}{3}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 25}{3}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 25}{3}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = \frac{- 25}{3}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = \frac{- 25}{3}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{25}{3}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.6

Setze $y - 9$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.6.1

Setze $y - 9$ gleich $0$ .

$y - 9 = 0$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = 9$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 y + 25) (y - 9) = 0$ wahr machen.

$y = - \frac{25}{3}, 9$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = - \frac{25}{3}, 9$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = - \frac{25}{3}, 9$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{25}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$ durch $- \frac{25}{3}$ .

$x = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{25}{3}}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{1}{2} + \frac{- \frac{25}{3}}{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 - \frac{25}{3}}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{3}{3} - \frac{25}{3}}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 4.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{3 - 25}{3}}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 4.2.1.2.3

Subtrahiere $25$ von $3$ .

$x = \frac{\frac{- 22}{3}}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 4.2.1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{- \frac{22}{3}}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

$x = \frac{- \frac{22}{3}}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{22}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{22}{3}$ in den Zähler.

$x = \frac{- 22}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 4.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 22$ heraus.

$x = \frac{2 (- 11)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 4.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 11}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 4.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 11}{3}$

$y = - \frac{25}{3}$

$x = \frac{- 11}{3}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 4.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{11}{3}$

$y = - \frac{25}{3}$

$x = - \frac{11}{3}$

$y = - \frac{25}{3}$

$x = - \frac{11}{3}$

$y = - \frac{25}{3}$

$x = - \frac{11}{3}$

$y = - \frac{25}{3}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $9$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$ durch $9$ .

$x = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

$y = 9$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{1}{2} + \frac{9}{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 + 9}{2}$

$y = 9$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.2.1

Addiere $1$ und $9$ .

$x = \frac{10}{2}$

$y = 9$

Schritt 5.2.1.2.2

Dividiere $10$ durch $2$ .

$x = 5$

$y = 9$

$x = 5$

$y = 9$

$x = 5$

$y = 9$

$x = 5$

$y = 9$

$x = 5$

$y = 9$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- \frac{11}{3}, - \frac{25}{3})$

$(5, 9)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- \frac{11}{3}, - \frac{25}{3}), (5, 9)$

Gleichungsform:

$x = - \frac{11}{3}, y = - \frac{25}{3}$

$x = 5, y = 9$

Schritt 8