Algebra Beispiele

$64 t^{6} - 1$

Schritt 1

Schreibe $64 t^{6}$ als ${(4 t^{2})}^{3}$ um.

${(4 t^{2})}^{3} - 1$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(4 t^{2})}^{3} - 1^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 4 t^{2}$ und $b = 1$ .

$(4 t^{2} - 1) ({(4 t^{2})}^{2} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $4 t^{2}$ als ${(2 t)}^{2}$ um.

$({(2 t)}^{2} - 1) ({(4 t^{2})}^{2} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$({(2 t)}^{2} - 1^{2}) ({(4 t^{2})}^{2} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 t$ und $b = 1$ .

$(2 t + 1) (2 t - 1) ({(4 t^{2})}^{2} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(2 t + 1) (2 t - 1) ({(4 t^{2})}^{2} + 4 t^{2} + 1^{2})$

Schritt 5

Wende die Produktregel auf $4 t^{2}$ an.

$(2 t + 1) (2 t - 1) (4^{2} {(t^{2})}^{2} + 4 t^{2} + 1^{2})$

Schritt 6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(2 t + 1) (2 t - 1) (16 {(t^{2})}^{2} + 4 t^{2} + 1^{2})$

Schritt 7

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

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Schritt 7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 t + 1) (2 t - 1) (16 t^{2 \cdot 2} + 4 t^{2} + 1^{2})$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(2 t + 1) (2 t - 1) (16 t^{4} + 4 t^{2} + 1^{2})$

Schritt 8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(2 t + 1) (2 t - 1) (16 t^{4} + 4 t^{2} + 1)$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Schreibe $16 t^{4} + 4 t^{2} + 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 9.1.1

Forme den mittleren Term um.

$(2 t + 1) (2 t - 1) (16 t^{4} + 2 (4 t^{2}) \cdot 1 - 4 t^{2} + 1)$

Schritt 9.1.2

Ordne Terme um.

$(2 t + 1) (2 t - 1) (16 t^{4} + 2 (4 t^{2}) \cdot 1 + 1 - 4 t^{2})$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$(2 t + 1) (2 t - 1) ({(4 t^{2} + 1)}^{2} - 4 t^{2})$

Schritt 9.1.4

Schreibe $4 t^{2}$ als ${(2 t)}^{2}$ um.

$(2 t + 1) (2 t - 1) ({(4 t^{2} + 1)}^{2} - {(2 t)}^{2})$

Schritt 9.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 t^{2} + 1$ und $b = 2 t$ .

$(2 t + 1) (2 t - 1) ((4 t^{2} + 1 + 2 t) (4 t^{2} + 1 - (2 t)))$

Schritt 9.1.6

Vereinfache.

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Schritt 9.1.6.1

Stelle die Terme um.

$(2 t + 1) (2 t - 1) ((4 t^{2} + 2 t + 1) (4 t^{2} + 1 - (2 t)))$

Schritt 9.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(2 t + 1) (2 t - 1) ((4 t^{2} + 2 t + 1) (4 t^{2} + 1 - 2 t))$

Schritt 9.1.6.3

Stelle die Terme um.

$(2 t + 1) (2 t - 1) ((4 t^{2} + 2 t + 1) (4 t^{2} - 2 t + 1))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 t + 1) (2 t - 1) (4 t^{2} + 2 t + 1) (4 t^{2} - 2 t + 1)$