Algebra Beispiele

$9 x^{4} = 25 x^{2} - 16$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $25 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{4} - 25 x^{2} = - 16$

Schritt 1.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{4} - 25 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$9 {(x^{2})}^{2} - 25 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$9 u^{2} - 25 u + 16 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 16 = 144$ und deren Summe gleich $b = - 25$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 25$ aus $- 25 u$ heraus.

$9 u^{2} - 25 u + 16 = 0$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 25$ um als $- 9$ plus $- 16$

$9 u^{2} + (- 9 - 16) u + 16 = 0$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 u^{2} - 9 u - 16 u + 16 = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 u^{2} - 9 u) - 16 u + 16 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$9 u (u - 1) - 16 (u - 1) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 1$ .

$(u - 1) (9 u - 16) = 0$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (9 x^{2} - 16) = 0$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} - 1^{2}) (9 x^{2} - 16) = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (9 x^{2} - 16) = 0$

Schritt 8

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$(x + 1) (x - 1) ({(3 x)}^{2} - 16) = 0$

Schritt 9

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(x + 1) (x - 1) ({(3 x)}^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 4$ .

$(x + 1) (x - 1) ((3 x + 4) (3 x - 4)) = 0$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 1) (3 x + 4) (3 x - 4) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$3 x + 4 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Schritt 12

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 13

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 14

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Schritt 14.2

Löse $3 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 4$

Schritt 14.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 14.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 14.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 15

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 15.2

Löse $3 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 15.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 15.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 15.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 15.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 15.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 16

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 1) (3 x + 4) (3 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}$