Algebra Beispiele

$\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (x) + \ln (x + 2) = 3$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 2)) = 3$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = 3$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = 3$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x) = 3$

Schritt 5

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} + 2 x)} = e^{3}$

Schritt 6

Schreibe $\ln (x^{2} + 2 x) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} + 2 x$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 2 x = e^{3}$ um.

$x^{2} + 2 x = e^{3}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $e^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x - e^{3} = 0$

Schritt 7.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - e^{3}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{3}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.3

Schreibe $4 + 4 e^{3}$ als $2^{2} (1 + e^{3})$ um.

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Schritt 7.5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{3}$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (e^{3})$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.5

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{3} + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = e$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1^{2} - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.7

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1.7.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.7.2

Schreibe $- 1 e$ als $- e$ um.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$

Schritt 7.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}, - 1 - \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$ nicht erfüllen.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Dezimalform:

$x = 3.59189905 \dots$