Algebra Beispiele

$2 \log_{7} (5) + \log_{7} (x) = \log_{7} (100)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \log_{7} (5) + \log_{7} (x) - \log_{7} (100) = 0$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log_{7} (5) + \log_{7} (\frac{x}{100}) = 0$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 \log_{7} (5) + \log_{7} (\frac{x}{100})$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Vereinfache $2 \log_{7} (5)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{7} (5^{2}) + \log_{7} (\frac{x}{100}) = 0$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\log_{7} (25) + \log_{7} (\frac{x}{100}) = 0$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (25 \frac{x}{100}) = 0$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $25$ aus $100$ heraus.

$\log_{7} (25 \frac{x}{25 (4)}) = 0$

Schritt 3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{7} (25 \frac{x}{25 \cdot 4}) = 0$

Schritt 3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{7} (\frac{x}{4}) = 0$

Schritt 4

Schreibe $\log_{7} (\frac{x}{4}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$7^{0} = \frac{x}{4}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{4} = 7^{0}$ um.

$\frac{x}{4} = 7^{0}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 \cdot 7^{0}$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{x}{4} = 4 \cdot 7^{0}$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 \cdot 7^{0}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $4 \cdot 7^{0}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x = 4 \cdot 1$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = 4$