Algebra Beispiele

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \ln (x) + 3 \ln (2)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{2}) + 3 \ln (2) = 5$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache $3 \ln (2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{2}) + \ln (2^{3}) = 5$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\ln (x^{2}) + \ln (8) = 5$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} \cdot 8) = 5$

Schritt 2.1.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\ln (8 x^{2}) = 5$

Schritt 3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (8 x^{2})} = e^{5}$

Schritt 4

Schreibe $\ln (8 x^{2}) = 5$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{5} = 8 x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $8 x^{2} = e^{5}$ um.

$8 x^{2} = e^{5}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{2} = e^{5}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{2} = e^{5}$ durch $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{5}}{8}$

Schritt 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$

Schritt 5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ .

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Schritt 5.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ als $\frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.2.1

Schreibe $e^{5}$ als ${(e^{2})}^{2} e$ um.

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Schritt 5.4.2.1.1

Faktorisiere $e^{4}$ aus.

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{4} e}}{\sqrt{8}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Schreibe $e^{4}$ als ${(e^{2})}^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{{(e^{2})}^{2} e}}{\sqrt{8}}$

Schritt 5.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{8}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.3.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.4.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 5.4.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 5.4.4

Mutltipliziere $\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.4.5.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 5.4.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 5.4.5.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 5.4.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.4.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.4.5.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.4.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.4.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 5.4.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.4.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Schritt 5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Schritt 5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Schritt 5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}, - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$ nicht erfüllen.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Dezimalform:

$x = 4.30716204 \dots$