Algebra Beispiele

$\log_{8} (48) - \log_{8} (x) = \log_{8} (4)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{8} (\frac{48}{x}) = \log_{8} (4)$

Schritt 2

Die logarithmische Basis $8$ von $4$ ist $\frac{2}{3}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{8} (4) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{8} (4) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$8^{x} = 4$

Schritt 2.3

Erzeuge Ausdrücke in der Gleichung, die alle die gleiche Basis haben.

${(2^{3})}^{x} = 2^{2}$

Schritt 2.4

Schreibe ${(2^{3})}^{x}$ als $2^{3 x}$ um.

$2^{3 x} = 2^{2}$

Schritt 2.5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$3 x = 2$

Schritt 2.6

Löse nach $x$ auf.

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 2.7

Die Variable $x$ ist gleich $\frac{2}{3}$ .

$\log_{8} (\frac{48}{x}) = \frac{2}{3}$

Schritt 3

Schreibe $\log_{8} (\frac{48}{x}) = \frac{2}{3}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$8^{\frac{2}{3}} = \frac{48}{x}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{48}{x} = 8^{\frac{2}{3}}$ um.

$\frac{48}{x} = 8^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{48}{x} = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{48}{x} = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{48}{x} = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{48}{x} = 2^{2}$

Schritt 4.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{48}{x} = 4$

Schritt 4.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 4.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 4.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{48}{x} = 4$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{48}{x} = 4$ mit $x$ .

$\frac{48}{x} x = 4 x$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{48}{x} x = 4 x$

Schritt 4.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$48 = 4 x$

Schritt 4.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.5.1

Schreibe die Gleichung als $4 x = 48$ um.

$4 x = 48$

Schritt 4.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 48$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 48$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{48}{4}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{48}{4}$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{48}{4}$

Schritt 4.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.3.1

Dividiere $48$ durch $4$ .

$x = 12$