Algebra Beispiele

$(3, - 1)$

Schritt 1

Um eine Exponentialfunktion, $f (x) = a^{x}$ , zu ermitteln, die den Punkt enthält, setze $f (x)$ in der Funktion gleich dem $y$ -Wert $- 1$ des Punktes und setze $x$ gleich dem $x$ -Wert $3$ des Punktes.

$- 1 = a^{3}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $a^{3} = - 1$ um.

$a^{3} = - 1$

Schritt 2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a^{3} + 1 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$a^{3} + 1^{3} = 0$

Schritt 2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = a$ und $b = 1$ .

$(a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(a + 1) (a^{2} - a + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(a + 1) (a^{2} - a + 1) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a + 1 = 0$

$a^{2} - a + 1 = 0$

Schritt 2.5

Setze $a + 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $a + 1$ gleich $0$ .

$a + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - 1$

Schritt 2.6

Setze $a^{2} - a + 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $a^{2} - a + 1$ gleich $0$ .

$a^{2} - a + 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $a^{2} - a + 1 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(a + 1) (a^{2} - a + 1) = 0$ wahr machen.

$a = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.8

Entferne alle Werte, die imaginäre Komponenten enthalten.

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Schritt 2.8.1

Es gibt keine imaginären Komponenten. Addiere $- 1$ zum endgültigen Ergebnis.

$- 1$ ist eine reelle Zahl

Schritt 2.8.2

Der Buchstabe $i$ stellt eine imaginäre Komponente dar und ist keine reelle Zahl. Addiere $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ nicht zur endgültigen Lösung.

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ ist keine reelle Zahl

Schritt 2.8.3

Der Buchstabe $i$ stellt eine imaginäre Komponente dar und ist keine reelle Zahl. Addiere $\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ nicht zur endgültigen Lösung.

$\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ ist keine reelle Zahl

Schritt 2.8.4

Die endgültige Lösung ist die Liste der Werte, die keine imaginären Komponenten enthalten.

$a = - 1$

Schritt 3

Setze jeden Wert für $a$ erneut in die Funktion $f (x) = a^{x}$ ein, um jede mögliche Exponentialfunktion zu ermitteln.

$f (x) = {(- 1)}^{x}$