Algebra Beispiele

$\frac{2}{2 x^{2} - x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2}{2 x^{2} - (x) - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$\frac{2}{2 x^{2} + (1 - 2) x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + x - 2 x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2}{(2 x^{2} + x) - 2 x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2}{x (2 x + 1) - (2 x + 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Schritt 1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Um $\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Um $\frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 4.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) ({(x - 1)}^{1} (x - 1))} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 4.3

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1})} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1}} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$ mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}} + \frac{3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 4.7

Stelle die Faktoren von $(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}$ um.

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)} + \frac{3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x - 1) + 3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 + 3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 2 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 6.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 x - 2 + 6 x^{2} + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 6.7

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$\frac{5 x - 2 + 6 x^{2}}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Schritt 6.8

Stelle die Terme um.

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 2}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$