Algebra Beispiele

${(2 x + 4 y)}^{2}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{2 - k} \cdot {(4 y)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{2 - 0} \cdot {(4 y)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{2 - 1} \cdot {(4 y)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{2 - 2} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(4 y)}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(2 x)}^{2}$ mit $1$ .

${(2 x)}^{2} \cdot {(4 y)}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2^{2} x^{2} \cdot {(4 y)}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} \cdot {(4 y)}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $4 y$ an.

$4 x^{2} \cdot (4^{0} y^{0}) + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot 4^{0} x^{2} y^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.6

Multipliziere $4$ mit $4^{0}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $4^{0}$ .

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{0} x^{2} y^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4^{1 + 0} x^{2} y^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.6.2

Addiere $1$ und $0$ .

$4^{1} x^{2} y^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.7

Vereinfache $4^{1} x^{2} y^{0}$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$4 x^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot {(4 y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

$4 x^{2} + 4 x \cdot (4 y) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} + 4 \cdot 4 x y + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$4 x^{2} + 16 x y + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere ${(2 x)}^{0}$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 16 x y + {(2 x)}^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.14

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$4 x^{2} + 16 x y + 2^{0} x^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.15

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 x^{2} + 16 x y + 1 x^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 16 x y + x^{0} \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.17

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 x^{2} + 16 x y + 1 \cdot {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere ${(4 y)}^{2}$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 16 x y + {(4 y)}^{2}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $4 y$ an.

$4 x^{2} + 16 x y + 4^{2} y^{2}$

Schritt 4.20

Potenziere $4$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 16 x y + 16 y^{2}$