Algebra Beispiele

$(x^{3} + 2 x - 1) - (2 x^{2} + 4 x - 2)$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} + 2 x - 1 - (2 x^{2}) - (4 x) - - 2$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 x^{2} - (4 x) - - 2$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 x^{2} - 4 x - - 2$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 x^{2} - 4 x + 2$

Schritt 3

Subtrahiere $4 x$ von $2 x$ .

$x^{3} - 2 x - 1 - 2 x^{2} + 2$

Schritt 4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$x^{3} - 2 x - 2 x^{2} + 1$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 6

Faktorisiere $x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 6.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 6.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1$

Schritt 6.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1$

Schritt 6.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 + 1$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 1 - 2 - 2 \cdot - 1 + 1$

Schritt 6.3.5

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- 3 - 2 \cdot - 1 + 1$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 3 + 2 + 1$

Schritt 6.3.7

Addiere $- 3$ und $2$ .

$- 1 + 1$

Schritt 6.3.8

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 6.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1}{x + 1}$

Schritt 6.5

Dividiere $x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$ durch $x + 1$ .

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Schritt 6.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 6.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Schritt 6.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 6.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 6.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Schritt 6.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 6.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 6.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 6.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 6.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$

Schritt 6.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$

Schritt 6.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$

Schritt 6.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$1$

Schritt 6.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$

Schritt 6.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$
										$0$

Schritt 6.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 3 x + 1$

Schritt 6.6

Schreibe $x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (x^{2} - 3 x + 1)$