Algebra Beispiele

$\sqrt{4 x} - x + 8 = 0$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x}$ als ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(4 x)}^{\frac{1}{2}} - x + 8 = 0$

Schritt 2

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x + 8 = 0$

Schritt 3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x + 8 = 0$

Schritt 4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - x + 8 = 0$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - x + 8 = 0$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{\frac{1}{2}} - x + 8 = 0$

Schritt 6

Stelle die Terme um.

$- x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 8 = 0$

Schritt 7

Schreibe $- x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 8$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 7.1

Schreibe $x$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + 8 = 0$

Schritt 7.2

Es sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- u^{2} + 2 u + 8 = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 7.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u$ heraus.

$- u^{2} + 2 (u) + 8 = 0$

Schritt 7.3.1.2

Schreibe $2$ um als $- 2$ plus $4$

$- u^{2} + (- 2 + 4) u + 8 = 0$

Schritt 7.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- u^{2} - 2 u + 4 u + 8 = 0$

Schritt 7.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- u^{2} - 2 u) + 4 u + 8 = 0$

Schritt 7.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (- u - 2) - 4 (- u - 2) = 0$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 2$ .

$(- u - 2) (u - 4) = 0$

Schritt 7.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(- x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 4) = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{\frac{1}{2}} - 2$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$(- (x^{\frac{1}{2}}) - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 4) = 0$

Schritt 7.5.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$(- (x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 2) (x^{\frac{1}{2}} - 4) = 0$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)$ heraus.

$- (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 4) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

Schritt 9

Setze $x^{\frac{1}{2}} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x^{\frac{1}{2}} + 2$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

Schritt 9.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Schritt 9.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = 4$

Schritt 10

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 4$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

Schritt 10.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{2}} = 4$

Schritt 10.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 10.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 4^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 4^{2}$

Schritt 10.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.3.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = 16$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 16$

Schritt 12

Schließe die Lösungen aus, die $- (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 4) = 0$ nicht erfüllen.

$x = 16$