Algebra Beispiele

$125 x^{3} + 216 = 0$

Schritt 1

Schreibe $125 x^{3}$ als ${(5 x)}^{3}$ um.

${(5 x)}^{3} + 216 = 0$

Schritt 2

Schreibe $216$ als $6^{3}$ um.

${(5 x)}^{3} + 6^{3} = 0$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 5 x$ und $b = 6$ .

$(5 x + 6) ({(5 x)}^{2} - 5 x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$(5 x + 6) (5^{2} x^{2} - 5 x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Schritt 4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(5 x + 6) (25 x^{2} - 5 x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$(5 x + 6) (25 x^{2} - 5 x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 5$ .

$(5 x + 6) (25 x^{2} - 30 x + 6^{2}) = 0$

Schritt 4.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$(5 x + 6) (25 x^{2} - 30 x + 36) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x + 6 = 0$

$25 x^{2} - 30 x + 36 = 0$

Schritt 6

Setze $5 x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $5 x + 6$ gleich $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Schritt 6.2

Löse $5 x + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 6$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 6$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 6$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{6}{5}$

Schritt 7

Setze $25 x^{2} - 30 x + 36$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $25 x^{2} - 30 x + 36$ gleich $0$ .

$25 x^{2} - 30 x + 36 = 0$

Schritt 7.2

Löse $25 x^{2} - 30 x + 36 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 25$ , $b = - 30$ und $c = 36$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 36)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 25 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 36$ .

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 100 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $36$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 3600}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.3

Subtrahiere $3600$ von $900$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $- 2700$ als $- 1 (2700)$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2700)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.7

Schreibe $2700$ als $30^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $900$ aus $2700$ heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{900 (3)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.7.2

Schreibe $900$ als $30^{2}$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{30^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot (30 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.1.9

Bringe $30$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 25 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 36$ .

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Schritt 7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 100 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $36$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 3600}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.3

Subtrahiere $3600$ von $900$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.4

Schreibe $- 2700$ als $- 1 (2700)$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2700)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.7

Schreibe $2700$ als $30^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.4.1.7.1

Faktorisiere $900$ aus $2700$ heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{900 (3)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.7.2

Schreibe $900$ als $30^{2}$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{30^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot (30 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.1.9

Bringe $30$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 7.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 25 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 36$ .

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Schritt 7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 100 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $36$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 3600}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.3

Subtrahiere $3600$ von $900$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.4

Schreibe $- 2700$ als $- 1 (2700)$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2700)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.7

Schreibe $2700$ als $30^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.5.1.7.1

Faktorisiere $900$ aus $2700$ heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{900 (3)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.7.2

Schreibe $900$ als $30^{2}$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{30^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot (30 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.1.9

Bringe $30$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$

Schritt 7.2.5.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 7.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{5}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x + 6) (25 x^{2} - 30 x + 36) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{6}{5}, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{5}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{5}$