Algebra Beispiele

$2 x^{- 2} - 19 x^{- 1} + 42 = 0$

Schritt 1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{x^{2}}) - 19 x^{- 1} + 42 = 0$

Schritt 2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} - 19 x^{- 1} + 42 = 0$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} - 19 \frac{1}{x} + 42 = 0$

Schritt 4

Kombiniere $- 19$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{- 19}{x} + 42 = 0$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{19}{x} + 42 = 0$

Schritt 6

Stelle die Terme um.

$- \frac{19}{x} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Schritt 7

Um $- \frac{19}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{19}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Schritt 8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{19}{x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{19 x}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Schritt 8.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{19 x}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Schritt 8.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{19 x}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{19 x}{x^{1 + 1}} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{19 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 19 x + 2}{x^{2}} + 42 = 0$

Schritt 10

Um $42$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- 19 x + 2}{x^{2}} + \frac{42 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 19 x + 2 + 42 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 12

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 12.1

Stelle die Terme um.

$\frac{42 x^{2} - 19 x + 2}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 42 \cdot 2 = 84$ und deren Summe gleich $b = - 19$ ist.

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $- 19$ aus $- 19 x$ heraus.

$\frac{42 x^{2} - 19 x + 2}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.2.2

Schreibe $- 19$ um als $- 7$ plus $- 12$

$\frac{42 x^{2} + (- 7 - 12) x + 2}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{42 x^{2} - 7 x - 12 x + 2}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 12.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(42 x^{2} - 7 x) - 12 x + 2}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{7 x (6 x - 1) - 2 (6 x - 1)}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $6 x - 1$ .

$\frac{(6 x - 1) (7 x - 2)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13

Setze den Zähler gleich Null.

$(6 x - 1) (7 x - 2) = 0$

Schritt 14

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$6 x - 1 = 0$

$7 x - 2 = 0$

Schritt 14.2

Setze $6 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Setze $6 x - 1$ gleich $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Schritt 14.2.2

Löse $6 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 1$

Schritt 14.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 1$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Schritt 14.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 14.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Schritt 14.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Schritt 14.3

Setze $7 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.3.1

Setze $7 x - 2$ gleich $0$ .

$7 x - 2 = 0$

Schritt 14.3.2

Löse $7 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 2$

Schritt 14.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 2$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 14.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 2$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Schritt 14.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 14.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Schritt 14.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{7}$

Schritt 14.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(6 x - 1) (7 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{6}, \frac{2}{7}$