Algebra Beispiele

$x^{6} - 4 x^{4} - 9 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{6} - 4 x^{4}) - 9 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{4} (x^{2} - 4) - 9 (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x^{2} - 4$ .

$(x^{2} - 4) (x^{4} - 9) = 0$

Schritt 3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{4} - 9) = 0$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{4} - 9) = 0$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 9) = 0$

Schritt 6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 3$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 3) (x^{2} - 3)) = 0$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 9

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 10

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 11

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 11.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 11.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 11.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 11.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 11.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 11.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 12

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 12.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 12.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 12.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 12.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$