Algebra Beispiele

$x^{4} + 12 x = 4 x^{2} + 3 x^{3}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} + 12 x - 4 x^{2} = 3 x^{3}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} + 12 x - 4 x^{2} - 3 x^{3} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} + 12 x - 4 x^{2} - 3 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + 12 x - 4 x^{2} - 3 x^{3} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $12 x$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x \cdot 12 - 4 x^{2} - 3 x^{3} = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x \cdot 12 + x (- 4 x) - 3 x^{3} = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x \cdot 12 + x (- 4 x) + x (- 3 x^{2}) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x \cdot 12$ heraus.

$x (x^{3} + 12) + x (- 4 x) + x (- 3 x^{2}) = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} + 12) + x (- 4 x)$ heraus.

$x (x^{3} + 12 - 4 x) + x (- 3 x^{2}) = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} + 12 - 4 x) + x (- 3 x^{2})$ heraus.

$x (x^{3} + 12 - 4 x - 3 x^{2}) = 0$

Schritt 3

Stelle die Terme um.

$x (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Schritt 4

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 12) = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$x ((x - 3) (x^{2} - 4)) = 0$

Schritt 6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x ((x - 3) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x - 3) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Schritt 7.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x - 3) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 9

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 10

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 11

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 12

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3, - 2, 2$