Algebra Beispiele

$\frac{5}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x} = \frac{2}{x - 2}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2}{x - 2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x - 2} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{5}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x - 2}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{5}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x - 2} = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{5}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x - 2} = 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{2}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x - 2}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + 2)$ um.

$\frac{2}{x} + \frac{5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{x} + \frac{5 - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{x} + \frac{5 - 2 x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 - 2 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.6

Um $\frac{2}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2}{x} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.7

Um $\frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2}{x} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Schritt 2.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x + 2) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2 ((x + 2) (x - 2))}{x ((x + 2) (x - 2))} + \frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $\frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 ((x + 2) (x - 2))}{x ((x + 2) (x - 2))} + \frac{(- 2 x + 1) x}{(x + 2) (x - 2) x} = 0$

Schritt 2.8.3

Stelle die Faktoren von $x ((x + 2) (x - 2))$ um.

$\frac{2 ((x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) x}{(x + 2) (x - 2) x} = 0$

Schritt 2.8.4

Stelle die Faktoren von $(x + 2) (x - 2) x$ um.

$\frac{2 ((x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 ((x + 2) (x - 2)) + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2) + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(2 x + 4) (x - 2) + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.3

Multipliziere $(2 x + 4) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (x - 2) + 4 (x - 2) + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 (x - 2) + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.4.2

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 8 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.4.3

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 8 - 2 x \cdot x + 1 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 - 2 (x \cdot x) + 1 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 - 2 x^{2} + 1 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 - 2 x^{2} + x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{0 - 8 + x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.9

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$\frac{- 8 + x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{- 1 (8) + x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- 1 (8) - 1 (- x)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (8) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{- 1 (8 - x)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 - x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$8 - x = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 8$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x = 8$