Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt{- 4}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Schritt 1

Ziehe die imaginäre Einheit $i$ heraus.

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Schritt 1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{\sqrt{- 1 (4)}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Schritt 1.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$\frac{\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Schritt 1.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{i \cdot \sqrt{4}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{i \sqrt{2^{2}}}{5 + 2 i - (3 - 4 i)}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - (3 - 4 i)}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - 1 \cdot 3 - (- 4 i)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - 3 - (- 4 i)}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - 3 + 4 i}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{i \cdot 2}{2 + 2 i + 4 i}$

Schritt 3.5

Addiere $2 i$ und $4 i$ .

$\frac{i \cdot 2}{2 + 6 i}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$\frac{2 i}{2 + 6 i}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $2 + 6 i$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 i$ heraus.

$\frac{2 (i)}{2 + 6 i}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (i)}{2 (1) + 6 i}$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6 i$ heraus.

$\frac{2 (i)}{2 (1) + 2 (3 i)}$

Schritt 4.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (3 i)$ heraus.

$\frac{2 (i)}{2 (1 + 3 i)}$

Schritt 4.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 i}{2 (1 + 3 i)}$

Schritt 4.2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{i}{1 + 3 i}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{i}{1 + 3 i}$ mit der Konjugierten von $1 + 3 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{i}{1 + 3 i} \cdot \frac{1 - 3 i}{1 - 3 i}$

Schritt 6

Multipliziere.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\frac{i (1 - 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{i \cdot 1 + i (- 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i + i (- 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $i (- 3 i)$ .

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Schritt 6.2.3.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i - 3 (i^{1} i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Schritt 6.2.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i - 3 (i^{1} i^{1})}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Schritt 6.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{i - 3 i^{1 + 1}}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Schritt 6.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{i - 3 i^{2}}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{i - 3 \cdot - 1}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{i + 3}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Schritt 6.2.5

Stelle $i$ und $3$ um.

$\frac{3 + i}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere $(1 + 3 i) (1 - 3 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + i}{1 (1 - 3 i) + 3 i (1 - 3 i)}$

Schritt 6.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- 3 i) + 3 i (1 - 3 i)}$

Schritt 6.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- 3 i) + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 1 (- 3 i) + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Schritt 6.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i + 3 i (- 3 i)}$

Schritt 6.3.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i i}$

Schritt 6.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 (i^{1} i)}$

Schritt 6.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Schritt 6.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i^{2}}$

Schritt 6.3.2.9

Addiere $- 3 i$ und $3 i$ .

$\frac{3 + i}{1 + 0 - 9 i^{2}}$

Schritt 6.3.2.10

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{3 + i}{1 - 9 i^{2}}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{3 + i}{1 - 9 \cdot - 1}$

Schritt 6.3.3.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 9}$

Schritt 6.3.4

Addiere $1$ und $9$ .

$\frac{3 + i}{10}$

Schritt 7

Zerlege den Bruch $\frac{3 + i}{10}$ in zwei Brüche.

$\frac{3}{10} + \frac{i}{10}$