Algebra Beispiele

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$4 ((x + 2) (x - 2)) = (x + 5) (3 x)$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $4 (x + 2) (x - 2)$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 4 (x + 2) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x + 4 \cdot 2) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(4 x + 8) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $(4 x + 8) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (x - 2) + 8 (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.1.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$4 x^{2} - 8 x + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.1.4.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$4 x^{2} - 8 x + 8 x - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $- 8 x$ und $8 x$ .

$4 x^{2} + 0 - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.1.4.3

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$4 x^{2} - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache $(x + 5) \cdot (3 x)$ .

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 16 = x (3 x) + 5 (3 x)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} - 16 = 3 x \cdot x + 5 (3 x)$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 x \cdot x + 15 x$

Schritt 3.2.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Bewege $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 (x \cdot x) + 15 x$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 x^{2} + 15 x$

Schritt 3.3

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$3 x^{2} + 15 x = 4 x^{2} - 16$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 15 x - 4 x^{2} = - 16$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$- x^{2} + 15 x = - 16$

Schritt 3.5

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 15 x + 16 = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + 15 x + 16$ heraus.

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 15 x + 16 = 0$

Schritt 3.6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $15 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 15 x) + 16 = 0$

Schritt 3.6.1.3

Schreibe $16$ als $- 1 (- 16)$ um.

$- (x^{2}) - (- 15 x) - 1 \cdot - 16 = 0$

Schritt 3.6.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 15 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 15 x) - 1 \cdot - 16 = 0$

Schritt 3.6.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 15 x) - 1 (- 16)$ heraus.

$- (x^{2} - 15 x - 16) = 0$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 15 x - 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.6.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 16$ und deren Summe $- 15$ ist.

$- 16, 1$

Schritt 3.6.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 16) (x + 1)) = 0$

Schritt 3.6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 16) (x + 1) = 0$

Schritt 3.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 16 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3.8

Setze $x - 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x - 16$ gleich $0$ .

$x - 16 = 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 16$

Schritt 3.9

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.9.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 16) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 16, - 1$