Algebra Beispiele

$\log_{5} (x^{10}) - \log_{5} (x^{6}) = 21$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x^{10}}{x^{6}}) = 21$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{10}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus $x^{10}$ heraus.

$\log_{5} (\frac{x^{6} x^{4}}{x^{6}}) = 21$

Schritt 1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\log_{5} (\frac{x^{6} x^{4}}{x^{6} \cdot 1}) = 21$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} (\frac{x^{6} x^{4}}{x^{6} \cdot 1}) = 21$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} (\frac{x^{4}}{1}) = 21$

Schritt 1.2.2.4

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$\log_{5} (x^{4}) = 21$

Schritt 2

Schreibe in Exponentialform.

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Schritt 2.1

Für logarithmische Gleichungen ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ mit $x > 0$ , $b > 0$ , and $b \neq 1$ . In diesem Fall: $b = 5$ , $x = x^{4}$ und $y = 21$ .

$b = 5$

$x = x^{4}$

$y = 21$

Schritt 2.2

Setze die Werte von $b$ , $x$ , und $y$ in die Gleichung $b^{y} = x$ ein.

$5^{21} = x^{4}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} = 5^{21}$ um.

$x^{4} = 5^{21}$

Schritt 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{5^{21}}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{5^{21}}$ .

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Schritt 3.3.1

Potenziere $5$ mit $21$ .

$x = \pm \sqrt[4]{476837158203125}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $476837158203125$ als $3125^{4} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $95367431640625$ aus $476837158203125$ heraus.

$x = \pm \sqrt[4]{95367431640625 (5)}$

Schritt 3.3.2.2

Schreibe $95367431640625$ als $3125^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{3125^{4} \cdot 5}$

Schritt 3.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 3125 \sqrt[4]{5}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3125 \sqrt[4]{5}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3125 \sqrt[4]{5}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3125 \sqrt[4]{5}, - 3125 \sqrt[4]{5}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3125 \sqrt[4]{5}, - 3125 \sqrt[4]{5}$

Dezimalform:

$x = 4672.96494131 \dots, - 4672.96494131 \dots$