Algebra Beispiele

$5 y + 4 = {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 1

Vereinfache ${(x + 3)}^{2} + \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$5 y + 4 = (x + 3) (x + 3) + \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y + 4 = x (x + 3) + 3 (x + 3) + \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y + 4 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) + \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y + 4 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 + \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 y + 4 = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 + \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 y + 4 = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 + \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$5 y + 4 = x^{2} + 3 x + 3 x + 9 + \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$5 y + 4 = x^{2} + 6 x + 9 + \frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 y + 4 = x^{2} + 6 x + 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 1.3

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 y + 4 = x^{2} + 6 x + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 y + 4 = x^{2} + 6 x + \frac{9 \cdot 2 + 1}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$5 y + 4 = x^{2} + 6 x + \frac{18 + 1}{2}$

Schritt 1.5.2

Addiere $18$ und $1$ .

$5 y + 4 = x^{2} + 6 x + \frac{19}{2}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = x^{2} + 6 x + \frac{19}{2} - 4$

Schritt 2.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 y = x^{2} + 6 x + \frac{19}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 y = x^{2} + 6 x + \frac{19}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 y = x^{2} + 6 x + \frac{19 - 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$5 y = x^{2} + 6 x + \frac{19 - 8}{2}$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $8$ von $19$ .

$5 y = x^{2} + 6 x + \frac{11}{2}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $5 y = x^{2} + 6 x + \frac{11}{2}$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = x^{2} + 6 x + \frac{11}{2}$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{\frac{11}{2}}{5}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{\frac{11}{2}}{5}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{\frac{11}{2}}{5}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $\frac{11}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{11}{2}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{11}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{11}{10}$

Schritt 4

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{2}}{5} + \frac{6 y}{5} + \frac{11}{10}$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{2}}{5} + \frac{6 y}{5} + \frac{11}{10} = x$ um.

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{6 y}{5} + \frac{11}{10} = x$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{6 y}{5} + \frac{11}{10} - x = 0$

Schritt 5.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $10$ aus und vereinfache dann.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (\frac{y^{2}}{5}) + 10 (\frac{6 y}{5}) + 10 (\frac{11}{10}) + 10 (- x) = 0$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$5 (2) (\frac{y^{2}}{5}) + 10 (\frac{6 y}{5}) + 10 (\frac{11}{10}) + 10 (- x) = 0$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot (2 (\frac{y^{2}}{5})) + 10 (\frac{6 y}{5}) + 10 (\frac{11}{10}) + 10 (- x) = 0$

Schritt 5.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 y^{2} + 10 (\frac{6 y}{5}) + 10 (\frac{11}{10}) + 10 (- x) = 0$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$2 y^{2} + 5 (2) (\frac{6 y}{5}) + 10 (\frac{11}{10}) + 10 (- x) = 0$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y^{2} + 5 \cdot (2 (\frac{6 y}{5})) + 10 (\frac{11}{10}) + 10 (- x) = 0$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 y^{2} + 2 (6 y) + 10 (\frac{11}{10}) + 10 (- x) = 0$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$2 y^{2} + 12 y + 10 (\frac{11}{10}) + 10 (- x) = 0$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y^{2} + 12 y + 10 (\frac{11}{10}) + 10 (- x) = 0$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y^{2} + 12 y + 11 + 10 (- x) = 0$

Schritt 5.3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$2 y^{2} + 12 y + 11 - 10 x = 0$

Schritt 5.3.3

Bewege $11$ .

$2 y^{2} + 12 y - 10 x + 11 = 0$

Schritt 5.3.4

Bewege $12 y$ .

$2 y^{2} - 10 x + 12 y + 11 = 0$

Schritt 5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 12$ und $c = - 10 x + 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 10 x + 11))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- 10 x + 11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- 10 x + 11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 (- 10 x) - 8 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 x - 8 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $11$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 x - 88}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.6

Subtrahiere $88$ von $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{80 x + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.7

Faktorisiere $8$ aus $80 x + 56$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $80 x$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (10 x) + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (10 x) + 8 (7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (10 x) + 8 (7)$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (10 x + 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.8

Schreibe $8 (10 x + 7)$ als $2^{2} \cdot (2 (10 x + 7))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (10 x + 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (10 x + 7))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (10 x + 7))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (10 x + 7)}}{4}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (10 x + 7)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- 10 x + 11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- 10 x + 11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 (- 10 x) - 8 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 x - 8 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $11$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 x - 88}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.6

Subtrahiere $88$ von $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{80 x + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.7

Faktorisiere $8$ aus $80 x + 56$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $80 x$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (10 x) + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (10 x) + 8 (7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (10 x) + 8 (7)$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (10 x + 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.8

Schreibe $8 (10 x + 7)$ als $2^{2} \cdot (2 (10 x + 7))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (10 x + 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (10 x + 7))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (10 x + 7))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (10 x + 7)}}{4}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (10 x + 7)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 5.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 5.7.5

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 5.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{2 (10 x + 7)}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{2 (10 x + 7)})}{2}$

Schritt 5.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{2 (10 x + 7)})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (6 - \sqrt{2 (10 x + 7)})}{2}$

Schritt 5.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 5.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- 10 x + 11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- 10 x + 11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 (- 10 x) - 8 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 x - 8 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $11$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 x - 88}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.6

Subtrahiere $88$ von $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{80 x + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.7

Faktorisiere $8$ aus $80 x + 56$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $80 x$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (10 x) + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (10 x) + 8 (7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (10 x) + 8 (7)$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (10 x + 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.8

Schreibe $8 (10 x + 7)$ als $2^{2} \cdot (2 (10 x + 7))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (10 x + 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (10 x + 7))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (10 x + 7))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (10 x + 7)}}{4}$

Schritt 5.8.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (10 x + 7)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 5.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 5.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.5.1

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 5.8.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2 (10 x + 7)}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{2 (10 x + 7)})}{2}$

Schritt 5.8.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (6) - (\sqrt{2 (10 x + 7)})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (6 + \sqrt{2 (10 x + 7)})}{2}$

Schritt 5.8.5.4

Schreibe $- 1 (6 + \sqrt{2 (10 x + 7)})$ als $- (6 + \sqrt{2 (10 x + 7)})$ um.

$y = \frac{- (6 + \sqrt{2 (10 x + 7)})}{2}$

Schritt 5.8.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 5.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 6

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 7

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{11}{10}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{11}{10}$ und $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$ und vergleiche sie.

Schritt 7.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{11}{10}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{7}{10}, \infty)$

Schritt 7.3

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 (10 x + 7)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 (10 x + 7) \geq 0$

Schritt 7.3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (10 x + 7) \geq 0$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (10 x + 7) \geq 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (10 x + 7)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 7.3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (10 x + 7)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 7.3.2.1.2.1.2

Dividiere $10 x + 7$ durch $1$ .

$10 x + 7 \geq \frac{0}{2}$

Schritt 7.3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$10 x + 7 \geq 0$

Schritt 7.3.2.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$10 x \geq - 7$

Schritt 7.3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $10 x \geq - 7$ durch $10$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x \geq - 7$ durch $10$ .

$\frac{10 x}{10} \geq \frac{- 7}{10}$

Schritt 7.3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x}{10} \geq \frac{- 7}{10}$

Schritt 7.3.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 7}{10}$

Schritt 7.3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{7}{10}$

Schritt 7.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \frac{7}{10}, \infty)$

Schritt 7.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{11}{10}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 7.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$ der Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{11}{10}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{11}{10}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$ die inverse Funktion von $f (x) = \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{11}{10}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (10 x + 7)}}{2}$

Schritt 8