Algebra Beispiele

$\frac{x - 4}{x + 4} - \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x - 4}{x + 4} - \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Schritt 2

Um $\frac{x - 4}{x + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Schritt 3

Um $- \frac{x + 1}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x - 4}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 4) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x - 4}{x + 4}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{x - 1}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 4)$ um.

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x - 4) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 1) - 4 (x - 1) - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 (x - 1) - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x^{2} - x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x + 4 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 + (- x - 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.5

Multipliziere $(- x - 1) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x (x + 4) - 1 (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.6.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 4 x - x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $x$ von $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 5 x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 5 x - 4 + x$ .

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- 5 x + 4 + 0 - 5 x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 7.1.2

Addiere $- 5 x + 4$ und $0$ .

$\frac{- 5 x + 4 - 5 x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{- 5 x - 5 x + 0 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 7.1.4

Addiere $- 5 x - 5 x$ und $0$ .

$\frac{- 5 x - 5 x + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$\frac{- 10 x + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 7.3

Addiere $- 10 x$ und $x$ .

$\frac{- 9 x}{(x + 4) (x - 1)}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9 x}{(x + 4) (x - 1)}$