Algebra Beispiele

$\frac{2 x + 5}{x^{2} - 3 x} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x + 5}{x \cdot x - 3 x} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{2 x + 5}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 3$ heraus.

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 9 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x \cdot x^{2} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 9 x$ heraus.

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ heraus.

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x^{2} - 9)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x^{2} - 3^{2})} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{2 x + 5}{x (x - 3)}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{2 x + 5}{x (x - 3)}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - (\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x}{x})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{(x + 1) x}{(x + 3) (x - 3) x}$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren von $(x + 3) (x - 3) x$ um.

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{(x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 x + 5) (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $(2 x + 5) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (x + 3) + 5 (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 5 (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 5 x + 15 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $6 x$ und $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 + (- x - 1 \cdot 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 + (- x - 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x \cdot x - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - (x \cdot x) - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x^{2} - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.7

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x^{2} - x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 11 x + 15 - x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $x$ von $11 x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 15}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - (3 x) - 1 \cdot 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - 3 x - 1 \cdot 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - 3 x - 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $3 x$ von $10 x$ .

$\frac{x^{2} + 7 x + 15 - 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $5$ von $15$ .

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $7$ ist.

$2, 5$

Schritt 4.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$