Algebra Beispiele

${(x - \frac{18}{x})}^{2} - 4 (x - \frac{18}{x}) - 21 = 0$

Schritt 1

Es sei $u = x - \frac{18}{x}$ . Ersetze $u$ für alle $x - \frac{18}{x}$ .

$u^{2} - 4 u - 21 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $u^{2} - 4 u - 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 21$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 7, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 7) (u + 3) = 0$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $x - \frac{18}{x}$ .

$(x - \frac{18}{x} - 7) (x - \frac{18}{x} + 3) = 0$

Schritt 4

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{x \cdot x}{x} - \frac{18}{x} - 7) (x - \frac{18}{x} + 3) = 0$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(\frac{x \cdot x - 18}{x} - 7) (x - \frac{18}{x} + 3) = 0$

Schritt 6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(\frac{x^{2} - 18}{x} - 7) (x - \frac{18}{x} + 3) = 0$

Schritt 7

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{x^{2} - 18}{x} - 7 \cdot \frac{x}{x}) (x - \frac{18}{x} + 3) = 0$

Schritt 8

Kombiniere $- 7$ und $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{x^{2} - 18}{x} + \frac{- 7 x}{x}) (x - \frac{18}{x} + 3) = 0$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} - 18 - 7 x}{x} \cdot (x - \frac{18}{x} + 3) = 0$

Schritt 10

Faktorisiere $x^{2} - 18 - 7 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 9, 2$

Schritt 10.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 9) (x + 2)}{x} \cdot (x - \frac{18}{x} + 3) = 0$

Schritt 11

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 9) (x + 2)}{x} \cdot (\frac{x \cdot x}{x} - \frac{18}{x} + 3) = 0$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 9) (x + 2)}{x} \cdot (\frac{x \cdot x - 18}{x} + 3) = 0$

Schritt 13

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(x - 9) (x + 2)}{x} \cdot (\frac{x^{2} - 18}{x} + 3) = 0$

Schritt 14

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 9) (x + 2)}{x} \cdot (\frac{x^{2} - 18}{x} + \frac{3 x}{x}) = 0$

Schritt 15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 9) (x + 2)}{x} \cdot \frac{x^{2} - 18 + 3 x}{x} = 0$

Schritt 16

Faktorisiere $x^{2} - 18 + 3 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 16.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $3$ ist.

$- 3, 6$

Schritt 16.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 9) (x + 2)}{x} \cdot \frac{(x - 3) (x + 6)}{x} = 0$

Schritt 17

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\frac{(x - 9) (x + 2)}{x} = 0$

$\frac{(x - 3) (x + 6)}{x} = 0$

Schritt 18

Setze $\frac{(x - 9) (x + 2)}{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 18.1

Setze $\frac{(x - 9) (x + 2)}{x}$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 9) (x + 2)}{x} = 0$

Schritt 18.2

Löse $\frac{(x - 9) (x + 2)}{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 18.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 9) (x + 2) = 0$

Schritt 18.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 18.2.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 18.2.2.2

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 18.2.2.2.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 18.2.2.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 18.2.2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 18.2.2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 18.2.2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 18.2.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 9) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 9, - 2$

Schritt 19

Setze $\frac{(x - 3) (x + 6)}{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 19.1

Setze $\frac{(x - 3) (x + 6)}{x}$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) (x + 6)}{x} = 0$

Schritt 19.2

Löse $\frac{(x - 3) (x + 6)}{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 19.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 3) (x + 6) = 0$

Schritt 19.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 19.2.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 19.2.2.2

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 19.2.2.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 19.2.2.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 19.2.2.3

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 19.2.2.3.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 19.2.2.3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 19.2.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 6$

Schritt 20

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\frac{(x - 9) (x + 2)}{x} \cdot \frac{(x - 3) (x + 6)}{x} = 0$ wahr machen.

$x = 9, - 2, 3, - 6$