Algebra Beispiele

$7 z^{2} = - 14 z - 13$

Schritt 1

Addiere $14 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 z^{2} + 14 z = - 13$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $7 z^{2} + 14 z = - 13$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 z^{2} + 14 z = - 13$ durch $7$ .

$\frac{7 z^{2}}{7} + \frac{14 z}{7} = \frac{- 13}{7}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 z^{2}}{7} + \frac{14 z}{7} = \frac{- 13}{7}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $z^{2}$ durch $1$ .

$z^{2} + \frac{14 z}{7} = \frac{- 13}{7}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $7$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $7$ aus $14 z$ heraus.

$z^{2} + \frac{7 (2 z)}{7} = \frac{- 13}{7}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$z^{2} + \frac{7 (2 z)}{7 (1)} = \frac{- 13}{7}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{2} + \frac{7 (2 z)}{7 \cdot 1} = \frac{- 13}{7}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$z^{2} + \frac{2 z}{1} = \frac{- 13}{7}$

Schritt 2.2.1.2.2.4

Dividiere $2 z$ durch $1$ .

$z^{2} + 2 z = \frac{- 13}{7}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z^{2} + 2 z = - \frac{13}{7}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(1)}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$z^{2} + 2 z + {(1)}^{2} = - \frac{13}{7} + {(1)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z^{2} + 2 z + 1 = - \frac{13}{7} + {(1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{13}{7} + {(1)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z^{2} + 2 z + 1 = - \frac{13}{7} + 1$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$z^{2} + 2 z + 1 = - \frac{13}{7} + \frac{7}{7}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z^{2} + 2 z + 1 = \frac{- 13 + 7}{7}$

Schritt 5.2.1.4

Addiere $- 13$ und $7$ .

$z^{2} + 2 z + 1 = \frac{- 6}{7}$

Schritt 5.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z^{2} + 2 z + 1 = - \frac{6}{7}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(z + 1)}^{2}$ .

${(z + 1)}^{2} = - \frac{6}{7}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z + 1 = \pm \sqrt{- \frac{6}{7}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{6}{7}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$z + 1 = \pm \sqrt{i^{2} \frac{6}{7}}$

Schritt 7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z + 1 = \pm i \sqrt{\frac{6}{7}}$

Schritt 7.2.3

Schreibe $\sqrt{\frac{6}{7}}$ als $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ um.

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$z + 1 = \pm i (\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Schritt 7.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 7.2.5.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Schritt 7.2.5.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Schritt 7.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 7.2.5.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 7.2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Schritt 7.2.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

Schritt 7.2.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$z + 1 = \pm i \frac{\sqrt{42}}{7}$

Schritt 7.2.7

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{42}}{7}$ .

$z + 1 = \pm \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = \pm \frac{i \sqrt{42}}{7} - 1$

Schritt 7.3.2

Stelle $\pm \frac{i \sqrt{42}}{7}$ und $- 1$ um.

$z = - 1 \pm \frac{i \sqrt{42}}{7}$