Algebra Beispiele

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{2 x}{x - 1} - \frac{x}{x - 3}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{2 x}{x - 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} = - \frac{x}{x - 3}$

Schritt 1.2

Addiere $\frac{x}{x - 3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} - 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{x - 1}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - (\frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}) + \frac{x}{x - 3} = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{2 x}{x - 1}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 3}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x}{x - 3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} = 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 3}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x (x - 1)}{(x - 3) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - 2 x (x - 3) + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x \cdot x + x \cdot - 1}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} + x \cdot - 1}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} - 1 \cdot x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.7

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} - x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.5

Addiere $- 2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{5 - x^{2} + 6 x - x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $x$ von $6 x$ .

$\frac{5 - x^{2} + 5 x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.7

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 5 x + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 5 x + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (- 5 x) + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 5 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 5 x) + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.11

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{- (x^{2} - 5 x) - 1 (- 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 5 x) - 1 (- 5)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 5 x - 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.13

Schreibe $- (x^{2} - 5 x - 5)$ als $- 1 (x^{2} - 5 x - 5)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 5 x - 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 5 x - 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 5 x - 5 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 5$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $25$ und $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Addiere $25$ und $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Addiere $25$ und $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$x = 5.85410196 \dots, - 0.85410196 \dots$