Algebra Beispiele

$\frac{1}{x^{2}} - 6 = \frac{10}{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{10}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} - 6 - \frac{10}{x} = 0$

Schritt 2

Stelle die Terme um.

$- \frac{10}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 6 = 0$

Schritt 3

Um $- \frac{10}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{10}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 6 = 0$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{10}{x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{10 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} - 6 = 0$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{10 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} - 6 = 0$

Schritt 4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{10 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} - 6 = 0$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{10 x}{x^{1 + 1}} + \frac{1}{x^{2}} - 6 = 0$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} - 6 = 0$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 10 x + 1}{x^{2}} - 6 = 0$

Schritt 6

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- 10 x + 1}{x^{2}} - 6 \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 7

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- 10 x + 1}{x^{2}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 10 x + 1 - 6 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$\frac{- 6 x^{2} - 10 x + 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 10

Setze den Zähler gleich Null.

$- 6 x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11.2

Setze die Werte $a = - 6$ , $b = - 10$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot 1)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 6 \cdot 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 6 \cdot 1$ .

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Schritt 11.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24 \cdot 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.3.1.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.3.1.3

Addiere $100$ und $24$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.3.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 11.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{31}}{- 12}$

Schritt 11.3.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{31}}{- 12}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{31}}{- 6}$

Schritt 11.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \pm \sqrt{31}}{6}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 6 \cdot 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 6 \cdot 1$ .

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Schritt 11.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24 \cdot 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.4.1.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.4.1.3

Addiere $100$ und $24$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.4.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 11.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{31}}{- 12}$

Schritt 11.4.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{31}}{- 12}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{31}}{- 6}$

Schritt 11.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \pm \sqrt{31}}{6}$

Schritt 11.4.5

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - \frac{5 + \sqrt{31}}{6}$

Schritt 11.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 6 \cdot 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 6 \cdot 1$ .

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Schritt 11.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24 \cdot 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.5.1.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.5.1.3

Addiere $100$ und $24$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.5.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 11.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 11.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{31}}{- 12}$

Schritt 11.5.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{31}}{- 12}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{31}}{- 6}$

Schritt 11.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \pm \sqrt{31}}{6}$

Schritt 11.5.5

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - \frac{5 - \sqrt{31}}{6}$

Schritt 11.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 + \sqrt{31}}{6}, - \frac{5 - \sqrt{31}}{6}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{5 + \sqrt{31}}{6}, - \frac{5 - \sqrt{31}}{6}$

Dezimalform:

$x = - 1.76129406 \dots, 0.09462739 \dots$