Algebra Beispiele

$2 x^{3} - 12 x^{2} = 32 x - 192$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $32 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 12 x^{2} - 32 x = - 192$

Schritt 1.2

Addiere $192$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 12 x^{2} - 32 x + 192 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 12 x^{2} - 32 x + 192$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{3}) - 12 x^{2} - 32 x + 192 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) - 32 x + 192 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 32 x$ heraus.

$2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 16 x) + 192 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $2$ aus $192$ heraus.

$2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 16 x) + 2 \cdot 96 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2})$ heraus.

$2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 (- 16 x) + 2 \cdot 96 = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 (- 16 x)$ heraus.

$2 (x^{3} - 6 x^{2} - 16 x) + 2 \cdot 96 = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} - 6 x^{2} - 16 x) + 2 \cdot 96$ heraus.

$2 (x^{3} - 6 x^{2} - 16 x + 96) = 0$

Schritt 3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 ((x^{3} - 6 x^{2}) - 16 x + 96) = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (x^{2} (x - 6) - 16 (x - 6)) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 6$ .

$2 ((x - 6) (x^{2} - 16)) = 0$

Schritt 5

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$2 ((x - 6) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$2 ((x - 6) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Schritt 6.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 ((x - 6) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 6) (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 8

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 9

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 10

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 6) (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 4, 4$