Algebra Beispiele

$\frac{\frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 7 x^{2}}}{\frac{x^{3} - x^{2} - 6 x}{x^{2} + 4 x - 21}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + 7 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} x + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} x + x^{2} \cdot 7} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot 7$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 21$ und deren Summe $4$ ist.

$- 3, 7$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} - x^{2} - 6 x}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} + x (- x) - 6 x}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 6}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- x)$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x^{2} - x) + x \cdot - 6}$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - x) + x \cdot - 6$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x^{2} - x - 6)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 5.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x ((x - 3) (x + 2))}$

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x - 3) (x + 2)}$

Schritt 6

Kombinieren.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} (x + 7) (x (x - 3) (x + 2))}$

Schritt 7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x \cdot x^{2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{1} x^{2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Schritt 7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{1 + 2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Schritt 7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) (x - 3)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) (x - 3)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 2}{x^{3}}$