Algebra Beispiele

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) (a - \frac{a^{2}}{a + b})$

Schritt 1

Um $a$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + b}{a + b}$ .

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) (\frac{a (a + b)}{a + b} - \frac{a^{2}}{a + b})$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \frac{a (a + b) - a^{2}}{a + b}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $a$ aus $a (a + b) - a^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $a$ aus $- a^{2}$ heraus.

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \frac{a (a + b) + a (- a)}{a + b}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $a$ aus $a (a + b) + a (- a)$ heraus.

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \frac{a (a + b - a)}{a + b}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $a$ von $a$ .

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \frac{a (b + 0)}{a + b}$

Schritt 3.3

Addiere $b$ und $0$ .

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \frac{a b}{a + b}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$ mit $\frac{a b}{a + b}$ .

$\frac{(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) (a b)}{a + b}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Um $\frac{a}{b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{a} - \frac{b}{a}) a b}{a + b}$

Schritt 5.2

Um $- \frac{b}{a}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b}{b}$ .

$\frac{(\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{a} - \frac{b}{a} \cdot \frac{b}{b}) a b}{a + b}$

Schritt 5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $b a$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{a}{b}$ mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(\frac{a \cdot a}{b a} - \frac{b}{a} \cdot \frac{b}{b}) a b}{a + b}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{b}{a}$ mit $\frac{b}{b}$ .

$\frac{(\frac{a \cdot a}{b a} - \frac{b \cdot b}{a b}) a b}{a + b}$

Schritt 5.3.3

Stelle die Faktoren von $b a$ um.

$\frac{(\frac{a \cdot a}{a b} - \frac{b \cdot b}{a b}) a b}{a + b}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{a \cdot a - b \cdot b}{a b} a b}{a + b}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{\frac{a^{1} a - b \cdot b}{a b} a b}{a + b}$

Schritt 5.5.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{\frac{a^{1} a^{1} - b \cdot b}{a b} a b}{a + b}$

Schritt 5.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{a^{1 + 1} - b \cdot b}{a b} a b}{a + b}$

Schritt 5.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{a^{2} - b \cdot b}{a b} a b}{a + b}$

Schritt 5.5.5

Schreibe $b \cdot b$ als $b^{2}$ um.

$\frac{\frac{a^{2} - b^{2}}{a b} a b}{a + b}$

Schritt 5.5.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

$\frac{\frac{(a + b) (a - b)}{a b} a b}{a + b}$

Schritt 5.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $\frac{(a + b) (a - b)}{a b}$ und $a$ .

$\frac{\frac{(a + b) (a - b) a}{a b} b}{a + b}$

Schritt 5.6.2

Kombiniere $\frac{(a + b) (a - b) a}{a b}$ und $b$ .

$\frac{\frac{(a + b) (a - b) a b}{a b}}{a + b}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(a + b) (a - b) a b}{a b}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(a + b) (a - b) a b}{a b}}{a + b}$

Schritt 5.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(a + b) (a - b) b}{b}}{a + b}$

Schritt 5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 5.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(a + b) (a - b) b}{b}}{a + b}$

Schritt 5.8.2

Dividiere $(a + b) (a - b)$ durch $1$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{a + b}$

Schritt 5.9

Multipliziere $(a + b) (a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a - b) + b (a - b)}{a + b}$

Schritt 5.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a (- b) + b (a - b)}{a + b}$

Schritt 5.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)}{a + b}$

Schritt 5.10

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

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Schritt 5.10.1

Ordne die Faktoren in den Termen $a (- b)$ und $b a$ neu an.

$\frac{a \cdot a - a b + a b + b (- b)}{a + b}$

Schritt 5.10.2

Addiere $- a b$ und $a b$ .

$\frac{a \cdot a + 0 + b (- b)}{a + b}$

Schritt 5.10.3

Addiere $a \cdot a$ und $0$ .

$\frac{a \cdot a + b (- b)}{a + b}$

Schritt 5.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.11.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} + b (- b)}{a + b}$

Schritt 5.11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a^{2} - b \cdot b}{a + b}$

Schritt 5.11.3

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.11.3.1

Bewege $b$ .

$\frac{a^{2} - (b \cdot b)}{a + b}$

Schritt 5.11.3.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a + b}$

Schritt 5.12

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{a + b}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + b$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + b) (a - b)}{a + b}$

Schritt 6.2

Dividiere $a - b$ durch $1$ .

$a - b$