Algebra Beispiele

$\ln (x) + \ln (3 x) = 14$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (3 x)) = 14$

Schritt 1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (3 x \cdot x) = 14$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $x$ .

$\ln (3 (x \cdot x)) = 14$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (3 x^{2}) = 14$

Schritt 2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (3 x^{2})} = e^{14}$

Schritt 3

Schreibe $\ln (3 x^{2}) = 14$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{14} = 3 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} = e^{14}$ um.

$3 x^{2} = e^{14}$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = e^{14}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = e^{14}$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{e^{14}}{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{e^{14}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{14}}{3}$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{14}}{3}}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{e^{14}}{3}}$ .

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{e^{14}}{3}}$ als $\frac{\sqrt{e^{14}}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{14}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.2.1

Schreibe $e^{14}$ als ${(e^{7})}^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{{(e^{7})}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{e^{7}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $\frac{e^{7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{e^{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{e^{7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 4.4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 4.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 4.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}, - \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x) + \ln (3 x) = 14$ nicht erfüllen.

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$x = 633.14144922 \dots$