Algebra Beispiele

$2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) = 2 \log_{3} (x + 2)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache $2 \log_{3} (6 x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} ({(6 x)}^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $6 x$ an.

$\log_{3} (6^{2} x^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\log_{3} (36 x^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache $- 2 \log_{3} (x + 2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (36 x^{2}) - \log_{3} (4 x) - \log_{3} ({(x + 2)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{36 x^{2}}{4 x}) - \log_{3} ({(x + 2)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{36 x^{2}}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $4$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 (x)}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x^{2}}{x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x^{1}}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x \cdot 1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x \cdot 1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x}{1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.5.2.5

Dividiere $9 x$ durch $1$ .

$\log_{3} (\frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Schritt 3

Schreibe $\log_{3} (\frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$9 x = 3^{0} ({(x + 2)}^{2})$

Schritt 5

Vereinfache $3^{0} ({(x + 2)}^{2})$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$9 x = 1 {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere ${(x + 2)}^{2}$ mit $1$ .

$9 x = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.1.3

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$9 x = (x + 2) (x + 2)$

Schritt 5.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$9 x = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 5.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$9 x = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$9 x = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 5.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$9 x = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x - x^{2} = 4 x + 4$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x - x^{2} - 4 x = 4$

Schritt 6.3

Subtrahiere $4 x$ von $9 x$ .

$- x^{2} + 5 x = 4$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} + 5 x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x (- x) + 5 x = 4$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$x (- x) + x \cdot 5 = 4$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x \cdot 5$ heraus.

$x (- x + 5) = 4$

Schritt 8

Vereinfache $x (- x + 5)$ .

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Schritt 8.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- x) + x \cdot 5 = 4$

Schritt 8.1.2

Stelle um.

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Schritt 8.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- x \cdot x + x \cdot 5 = 4$

Schritt 8.1.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x \cdot x + 5 \cdot x = 4$

Schritt 8.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1

Bewege $x$ .

$- (x \cdot x) + 5 \cdot x = 4$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} + 5 \cdot x = 4$

$- x^{2} + 5 x = 4$

Schritt 9

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 5 x - 4 = 0$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + 5 x - 4$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 5 x - 4 = 0$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $5 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 4 = 0$

Schritt 10.1.3

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 5 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 5 x) - 1 (4)$ heraus.

$- (x^{2} - 5 x + 4) = 0$

Schritt 10.2

Faktorisiere.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 4, - 1$

Schritt 10.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 4) (x - 1)) = 0$

Schritt 10.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 4) (x - 1) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 12

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 13

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 4) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 1$