Algebra Beispiele

$3 x^{6} y^{2} + 81 y^{2}$

Schritt 1

Faktorisiere $3 y^{2}$ aus $3 x^{6} y^{2} + 81 y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3 y^{2}$ aus $3 x^{6} y^{2}$ heraus.

$3 y^{2} (x^{6}) + 81 y^{2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3 y^{2}$ aus $81 y^{2}$ heraus.

$3 y^{2} (x^{6}) + 3 y^{2} (27)$

Schritt 1.3

Faktorisiere $3 y^{2}$ aus $3 y^{2} (x^{6}) + 3 y^{2} (27)$ heraus.

$3 y^{2} (x^{6} + 27)$

Schritt 2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

$3 y^{2} ({(x^{2})}^{3} + 27)$

Schritt 3

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$3 y^{2} ({(x^{2})}^{3} + 3^{3})$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x^{2}$ und $b = 3$ .

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} \cdot 3 + 3^{2}))$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} \cdot 3 + 3^{2}))$

Schritt 5.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) (x^{4} - x^{2} \cdot 3 + 3^{2}))$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) (x^{4} - 3 x^{2} + 3^{2}))$

Schritt 5.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) (x^{4} - 3 x^{2} + 9))$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe $x^{4} - 3 x^{2} + 9$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.4.1.1

Forme den mittleren Term um.

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 3 - 9 x^{2} + 9))$

Schritt 5.1.4.1.2

Ordne Terme um.

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 3 + 9 - 9 x^{2}))$

Schritt 5.1.4.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) ({(x^{2} + 3)}^{2} - 9 x^{2}))$

Schritt 5.1.4.1.4

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) ({(x^{2} + 3)}^{2} - {(3 x)}^{2}))$

Schritt 5.1.4.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2} + 3$ und $b = 3 x$ .

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) ((x^{2} + 3 + 3 x) (x^{2} + 3 - (3 x))))$

Schritt 5.1.4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1.6.1

Stelle die Terme um.

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) ((x^{2} + 3 x + 3) (x^{2} + 3 - (3 x))))$

Schritt 5.1.4.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) ((x^{2} + 3 x + 3) (x^{2} + 3 - 3 x)))$

Schritt 5.1.4.1.6.3

Stelle die Terme um.

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) ((x^{2} + 3 x + 3) (x^{2} - 3 x + 3)))$

Schritt 5.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 y^{2} ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 3) (x^{2} - 3 x + 3))$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 y^{2} (x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 3) (x^{2} - 3 x + 3)$