Algebra Beispiele

$x^{- 3} = 64$

Schritt 1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{- 3} - 64 = 0$

Schritt 2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} - 64 = 0$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{1^{3}}{x^{3}} - 64 = 0$

Schritt 4

Schreibe $\frac{1^{3}}{x^{3}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{3}$ um.

${(\frac{1}{x})}^{3} - 64 = 0$

Schritt 5

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

${(\frac{1}{x})}^{3} - 4^{3} = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = \frac{1}{x}$ und $b = 4$ .

$(\frac{1}{x} - 4) ({(\frac{1}{x})}^{2} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $4$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + 4^{2}) = 0$

Schritt 7.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + 16) = 0$

Schritt 7.5

Stelle die Terme um.

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Schritt 8

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 4 \cdot \frac{x}{x}) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Schritt 9

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{- 4 x}{x}) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Schritt 11

Um $\frac{4}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Schritt 12

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x + 1}{x^{2}} + 16) = 0$

Schritt 14

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x + 1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Schritt 15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{4 x + 1 + 16 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 17

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} = 0$

$\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 18

Setze $\frac{1 - 4 x}{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 18.1

Setze $\frac{1 - 4 x}{x}$ gleich $0$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} = 0$

Schritt 18.2

Löse $\frac{1 - 4 x}{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 18.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 - 4 x = 0$

Schritt 18.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 18.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - 1$

Schritt 18.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 18.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 18.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 18.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 18.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 18.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 18.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 18.2.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 19

Setze $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 19.1

Setze $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}}$ gleich $0$ .

$\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 19.2

Löse $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 19.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Schritt 19.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 19.2.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 19.2.2.2

Setze die Werte $a = 16$ , $b = 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 19.2.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.2.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Schritt 19.2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 19.2.2.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 19.2.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 19.2.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 19.2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.2.2.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Schritt 19.2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.4.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.4.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.4.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 19.2.2.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 19.2.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 19.2.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 19.2.2.4.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 19.2.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 19.2.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 19.2.2.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 19.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 19.2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.2.2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Schritt 19.2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.5.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.5.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.5.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 19.2.2.5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 19.2.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 19.2.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 19.2.2.5.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 19.2.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 19.2.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 19.2.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 19.2.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 20

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$