Algebra Beispiele

$x^{4} - 3 x^{3} + 5 x^{2} - 27 x - 36 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 3 x^{3} - 27 x + x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3} - 27 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} - 27 x + x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 27 x$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot 9 + x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x (x^{2}) - 3 x (9)$ heraus.

$- 3 x (x^{2} + 9) + x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 3 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 9) + u^{2} + 5 u - 36 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $u^{2} + 5 u - 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 36$ und deren Summe $5$ ist.

$- 4, 9$

Schritt 1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 x (x^{2} + 9) + (u - 4) (u + 9) = 0$

Schritt 1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 3 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 1.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} + 9) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 1.9

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $- 3 x (x^{2} + 9) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $- 3 x (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 1.9.2

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (- 3 x) + (x^{2} + 9) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.9.3

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(x^{2} + 9) (- 3 x) + (x^{2} + 9) ((x + 2) (x - 2))$ heraus.

$(x^{2} + 9) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.10

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Schritt 1.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Schritt 1.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 1.11

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 1.11.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 1.11.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 1.12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.12.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 1.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.13

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Schritt 1.14

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.14.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.14.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 1.14.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 9) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Schritt 1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 9) (x - 4) (x + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 3.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 3.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 9) (x - 4) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3 i, - 3 i, 4, - 1$

Schritt 7