Algebra Beispiele

$4 x^{5} - 8 x^{3} + 4 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{5} - 8 x^{3} + 4 x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{5}$ heraus.

$4 x (x^{4}) - 8 x^{3} + 4 x = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x$ heraus.

$4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x (1) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2})$ heraus.

$4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (1) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (1)$ heraus.

$4 x (x^{4} - 2 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$4 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$4 x (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$4 x (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$4 x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$4 x {(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$4 x {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$4 x {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$4 x ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 10

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 11

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 11.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 12

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 12.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 12.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$