Algebra Beispiele

$\log_{3} (x + 4) - \log_{3} (x + 2) = \log_{3} (27)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 4}{x + 2}) = \log_{3} (27)$

Schritt 2

Die logarithmische Basis $3$ von $27$ ist $3$ .

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Schritt 2.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{3} (27) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{3} (27) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 27$

Schritt 2.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{3}$

Schritt 2.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 3$

Schritt 2.5

Die Variable $x$ ist gleich $3$ .

$\log_{3} (\frac{x + 4}{x + 2}) = 3$

Schritt 3

Schreibe $\log_{3} (\frac{x + 4}{x + 2}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{3} = \frac{x + 4}{x + 2}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 4 = 3^{3} (x + 2)$

Schritt 5

Vereinfache $3^{3} (x + 2)$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x + 4 = 27 (x + 2)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 4 = 27 x + 27 \cdot 2$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$x + 4 = 27 x + 54$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $27 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 4 - 27 x = 54$

Schritt 6.2

Subtrahiere $27 x$ von $x$ .

$- 26 x + 4 = 54$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $- 26 x + 4$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 26 x$ heraus.

$2 (- 13 x) + 4 = 54$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (- 13 x) + 2 (2) = 54$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 13 x) + 2 (2)$ heraus.

$2 (- 13 x + 2) = 54$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $2 (- 13 x + 2) = 54$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (- 13 x + 2) = 54$ durch $2$ .

$\frac{2 (- 13 x + 2)}{2} = \frac{54}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 13 x + 2)}{2} = \frac{54}{2}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $- 13 x + 2$ durch $1$ .

$- 13 x + 2 = \frac{54}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Dividiere $54$ durch $2$ .

$- 13 x + 2 = 27$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 13 x = 27 - 2$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $27$ .

$- 13 x = 25$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $- 13 x = 25$ durch $- 13$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $- 13 x = 25$ durch $- 13$ .

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{25}{- 13}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 13$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{25}{- 13}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{25}{- 13}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{25}{13}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{25}{13}$

Dezimalform:

$x = - 1.\overline{923076}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - 1 \frac{12}{13}$